Use o teorema (11.15) para achar todos os valores de para os quais a série é convergente e ache a soma da série.
Passo 1
Oiii, tudo certinho com você? Bora fazer mais uma questão de cálculo II?
Para esta questão o enunciado cita um teorema específico que está presente no capítulo 11 do livro “Cálculo e Geometria Analítica”, Vol. 2 e 5ª Edição do Swokowski, belezinha? Onde ele estabelece as convergências das séries geométricas como:
Teorema: Seja . A série geométrica
(I) converge e tem por soma , se .
(II) diverge se .
Mas antes disso precisamos reescrever um pouco o nosso enunciado, belezinha? Bora lá!
Passo 2
Primeiro temos que tomar cuidado com o formato do enunciado, note que a soma começa em , portanto, por conveniência, vamos escrever o seguinte:
Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis, onde chamarei , obtendo:
Beleza, estamos quase no formato que precisamos, tudo que falta é que esse somatório comece em 1, para isso, vamos supor que o somatório inicie em 1, e retirar o termo a mais que adicionamos, note que para , temos:
Portanto, podemos dizer que:
Agora só precisamos identificar as relações que faltam, belezinha? Vamos para o próximo passo!
Passo 3
Então temos que , e para que esta série seja convergente é necessário que . Portanto, é necessário pegar todos os valores de tais que:
E utilizando a expressão para a soma dada no teorema, temos que:
A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!