Use o teorema (11.15) para achar todos os valores de x para os quais a série é convergente e ache a soma da série.

1 2 + ( x - 3 ) 4 + ( x - 3 ) 2 8 + . . . + ( x - 3 ) n 2 n + 1 + . . .

Passo 1

Oiii, tudo certinho com você? Bora fazer mais uma questão de cálculo II?

Para esta questão o enunciado cita um teorema específico que está presente no capítulo 11 do livro “Cálculo e Geometria Analítica”, Vol. 2 e 5ª Edição do Swokowski, belezinha? Onde ele estabelece as convergências das séries geométricas como:

Teorema: Seja a ≠ 0 . A série geométrica

∑ n = 1 ∞ a × r n - 1 = a   +   a r + a r 2 + . . . + a r n - 1 + . . .

(I) converge e tem por soma S = a 1 - r , se | r | < 1 .

(II) diverge se | r |   ≥ 1 .

Mas antes disso precisamos reescrever um pouco o nosso enunciado, belezinha? Bora lá!

Passo 2

Primeiro temos que tomar cuidado com o formato do enunciado, note que a soma começa em n = 0 , portanto, por conveniência, vamos escrever o seguinte:

1 2 + ∑ n = 1 ∞ ( x - 3 ) n 2 n + 1 = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 2 ( x - 3 2 ) n

Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis, onde chamarei n   =   m - 1 , obtendo:

1 2 + ∑ m = 2 ∞ 1 2 ( x - 3 2 ) m - 1

Beleza, estamos quase no formato que precisamos, tudo que falta é que esse somatório comece em 1, para isso, vamos supor que o somatório inicie em 1, e retirar o termo a mais que adicionamos, note que para m = 1 , temos:

1 2 ( x - 3 2 ) 1 - 1 = 1 2

Portanto, podemos dizer que:

1 2 - 1 2 + ∑ m = 1 ∞ 1 2 ( x - 3 2 ) m - 1 = ∑ m = 1 ∞ 1 2 ( x - 3 2 ) m - 1

Agora só precisamos identificar as relações que faltam, belezinha? Vamos para o próximo passo!

Passo 3

Então temos que a = 1 / 2 , e para que esta série seja convergente é necessário que | r | < 1 → | x - 3 2 | < 1 . Portanto, é necessário pegar todos os valores de x tais que:

| x - 3 | < 2   →   | x - 3 | 2 < 1   → x > 1   o u   x < 5

E utilizando a expressão para a soma dada no teorema, temos que:

S   = a 1 - r = 1 / 2 1 - ( x - 3 ) / 2 = ( 1 / 2 ) × 2 2 - x + 3 = 1 5 - x  

A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

1 < x < 5 ;   1 5 - x