Use o teorema (11.15) para achar todos os valores de x para os quais a série é convergente e ache a soma da série.

1 - x + x 2 - x 3 + . . . + ( - 1 ) n + 1 x n + . . .

Passo 1

Oiii, tudo certinho com você? Bora fazer mais uma questão de cálculo II?

Para esta questão o enunciado cita um teorema específico que está presente no capítulo 11 do livro “Cálculo e Geometria Analítica”, Vol. 2 e 5ª Edição do Swokowski, belezinha? Onde ele estabelece as convergências das séries geométricas como:

Teorema: Seja a ≠ 0 . A série geométrica

∑ n = 1 ∞ a × r n - 1 = a   +   a r + a r 2 + . . . + a r n - 1 + . . .

(I) converge e tem por soma S = a 1 - r , se | r | < 1 .

(II) diverge se | r |   ≥ 1 .

Mas antes disso precisamos reescrever um pouco o nosso enunciado, belezinha? Bora lá!

Passo 2

Nesta questão, temos um pequeno problema, note que para n = 1 , temos um termo do tipo:

x n   →   p o s i t i v o

Com n = 0 , temos que:

- 1 → n e g a t i v o

Portanto, para que o componente a n seja consistente com os elementos apresentados, é necessário que a série seja escrita da forma:

1 - x + x 2 - x 3 + . . . + ( - 1 ) n x n

Beleza, a partir desta expressão podemos calcular a convergência, belezinha?

Passo 3

Primeiro temos que tomar cuidado com o formato do enunciado, note que a soma começa em n = 0 , portanto, por conveniência, vamos escrever o seguinte:

1 + ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n x n

Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis, onde chamarei n   =   m - 1 , obtendo:

1 + ∑ m = 2 ∞ ( - 1 ) m - 1 x m - 1 = 1 + ∑ m = 2 ∞ ( - x ) m - 1

Beleza, estamos quase no formato que precisamos, tudo que falta é que esse somatório comece em 1, para isso, vamos supor que o somatório inicie em 1, e retirar os termos a mais que adicionamos, note que para m = 1 , temos:

x 1 - 1 = 1

Portanto, podemos dizer que:

1 - 1 + ∑ m = 1 ∞ ( - x ) m - 1 = ∑ m = 1 ∞ ( - x ) m - 1

Agora só precisamos identificar as relações que faltam, belezinha? Vamos para o próximo passo!

Passo 4

Então temos que a = 1 , e para que esta série seja convergente é necessário que | r | < 1 → | - x | < 1 . Portanto, é necessário pegar todos os valores de x tais que:

| - x | < 1     → x > - 1   o u   x < 1

E utilizando a expressão para a soma dada no teorema, temos que:

S   = a 1 - r = 1 1 + x  

A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

- 1 < x < 1 ;   1 1 + x