Enunciado

Use o teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.

3 + 3 4 + . . . + 3 4 n - 1 + . . .

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Para esta questão o enunciado cita um teorema específico que está presente no capítulo 11 do livro “Cálculo e Geometria Analítica”, Vol. 2 e 5ª Edição do Swokowski, belezinha? Onde ele estabelece as convergências das séries geométricas como:

Teorema: Seja a ≠ 0 . A série geométrica

a   +   a r + a r 2 + . . . + a r n - 1 + . . .

(I) converge e tem por soma S = a 1 - r , se | r | < 1 .

(II) diverge se | r |   ≥ 1 .

Tendo isto em mãos podemos dizer se a série converse e também obter sua soma, sigam-me os bons!

Passo 2

Vendo a série que nos foi dada no enunciado podemos identificar comparando com o teorema acima que a = 3 e que r = 1 / 4 , note que o que está no enunciado é equivalente à:

3 × ( 1 4 ) 1 - 1 + 3 × ( 1 4 ) 2 - 1 + . . . + 3 × ( 1 4 ) n - 1 + . . .

Como temos que r = 1 / 4 , a série converge, já que | r | < 1 , e a sua soma é dada por:

S = 3 1 - 1 / 4 = 12 4 - 1 = 12 / 3 = 4

Essa questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

C ,   S = 4