Use o teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.

∑ n = 1 ∞ 2 - n 3 n - 1

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Para esta questão o enunciado cita um teorema específico que está presente no capítulo 11 do livro “Cálculo e Geometria Analítica”, Vol. 2 e 5ª Edição do Swokowski, belezinha? Onde ele estabelece as convergências das séries geométricas como:

Teorema: Seja a ≠ 0 . A série geométrica

∑ n = 1 ∞ a × r n - 1 = a   +   a r + a r 2 + . . . + a r n - 1 + . . .

(I) converge e tem por soma S = a 1 - r , se | r | < 1 .

(II) diverge se | r |   ≥ 1 .

Tendo isto em mãos podemos dizer se a série converse e também obter sua soma, sigam-me os bons!

Passo 2

Nessa série será necessário fazer algumas mudanças para conseguirmos comparar com o teorema, especificamente no último termo que o enunciado apresenta, saca só o que podemos fazer:

∑ n = 1 ∞ 2 2 × 2 - n 3 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 2 1 - n 3 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 ( 3 2 ) n - 1  

Vendo a série que nos foi dada no enunciado podemos identificar comparando com o teorema acima que a = 1 / 2 e que r = 3 / 2 . Como temos que | r | ≥ 1 , a nossa série é divergente.

Resposta

D