Use o teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.

∑ n = 1 ∞ - 5 n - 1   4 - n

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Para esta questão o enunciado cita um teorema específico que está presente no capítulo 11 do livro “Cálculo e Geometria Analítica”, Vol. 2 e 5ª Edição do Swokowski, belezinha? Onde ele estabelece as convergências das séries geométricas como:

Teorema: Seja a ≠ 0 . A série geométrica

∑ n = 1 ∞ a × r n - 1 = a   +   a r + a r 2 + . . . + a r n - 1 + . . .

(I) converge e tem por soma S = a 1 - r , se | r | < 1 .

(II) diverge se | r |   ≥ 1 .

Tendo isto em mãos podemos dizer se a série converse e também obter sua soma, sigam-me os bons!

Passo 2

Nessa série será necessário fazer algumas mudanças para conseguirmos comparar com o teorema, especificamente no último termo que o enunciado apresenta, saca só o que podemos fazer:

∑ n = 1 ∞ 4 4 ( - 5 ) n - 1   4 - n = ∑ n = 1 ∞ ( - 5 ) 4 n - 1   4 1 - n = ∑ n = 1 ∞ ( - 5 4 ) n - 1 1 4  

Vendo a série que nos foi dada no enunciado podemos identificar comparando com o teorema acima que a = 1 / 4 e que r = - 5 / 4 . Como temos que | r | ≥ 1 , a nossa série é divergente.

Resposta

D