Use o teste da integral (11.23) para determinar a convergência ou divergência da série.
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Esta série utiliza o teste da integral para estabelecer a sua convergência ou divergência. Para podermos utilizar este teste devemos levar em consideração alguns fatores, tais como:
A função relacionada é sim sempre positiva, assim como é contínua, vamos verificar se ela é decrescente, beleza?
Passo 2
Para isso, vamos aplicar inicialmente a derivada da função relacionada, ou seja:
A derivada em relação a desta função pode ser obtida utilizando a regra do quociente (ou produto), juntamente com a regra da potência e da cadeia, obtendo o seguinte:
Essa expressão é negativa para todo valor de , portanto a função é decrescente. Agora precisamos analisar a convergência da integral. Belezinha?
Passo 3
O teste da integral consiste em analisar a seguinte relação:
Se for um valor finito, temos que esta série é convergente, e se for infinito, a série é divergente. Vamos então verificar o valor de .
Passo 4
Como esta é uma integral imprópria, devemos escrever:
E para resolver esta integral é conveniente fazer uma mudança de variáveis do tipo , e portanto temos . Obtendo a seguinte integral:
Agora, vamos resolver esta integral, belezinha?
Passo 5
Esta integral utiliza a regra da primitiva de expressões polinomiais, da forma:
Em nosso caso, temos , portanto:
Como a integral diverge, temos que nossa série diverge pelo teste da integral! Te vejo na próxima, tchauzinho!