Use o teste da integral (11.23) para determinar a convergência ou divergência da série.

∑ n = 2 ∞ n n 2 - 1

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Esta série utiliza o teste da integral para estabelecer a sua convergência ou divergência. Para podermos utilizar este teste devemos levar em consideração alguns fatores, tais como:

f ( x )   r e l a c i o n a d a   à   a n   d a   s é r i e   d e v e   s e r   c o n t í n u a   p a r a   x ≥ 1

f ( x )   r e l a c i o n a d a   à   a n   d e v e   s e r   p o s i t i v a   x ≥ 1

f ( x )   r e l a c i o n a d a   à   a n   d e v e   s e r   d e c r e s c e n t e   x ≥ 1

A função relacionada é sim sempre positiva, assim como é contínua, vamos verificar se ela é decrescente, beleza?

Passo 2

Para isso, vamos aplicar inicialmente a derivada da função f ( x ) relacionada, ou seja:

f ( x ) = x x 2 - 1

A derivada em relação a x desta função pode ser obtida utilizando a regra do quociente (ou produto), juntamente com a regra da potência e da cadeia, obtendo o seguinte:

f ' ( x )   =   1 x 2 - 1 - 2 x 3 / 2 x 2 - 1 ( x 2 - 1 ) = 1 x 2 - 1 ( 1 - x 3 ( x 2 - 1 ) )

Essa expressão é negativa para todo valor de x ≥ 1 , portanto a função é decrescente. Agora precisamos analisar a convergência da integral. Belezinha?

Passo 3

O teste da integral consiste em analisar a seguinte relação:

∫ 2 ∞ x x 2 - 1 d x =   I

Se I for um valor finito, temos que esta série é convergente, e se I   for infinito, a série é divergente. Vamos então verificar o valor de I .

Passo 4

Como esta é uma integral imprópria, devemos escrever:

l i m b → ∞ ∫ 1 b x x 2 - 1 d x

E para resolver esta integral é conveniente fazer uma mudança de variáveis do tipo u = x 2 + 1 , e portanto temos d u = 2 x d x   → x d x   =   d u / 2 . Obtendo a seguinte integral:

l i m b → ∞ ∫ 5 b 2 + 1 1 2 u 1 / 2 d u

Agora, vamos resolver esta integral, belezinha?

Passo 5

Esta integral utiliza a regra da primitiva de expressões polinomiais, da forma:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

Em nosso caso, temos n = - 1 / 2 , portanto:

l i m b → ∞ ∫ 5 b 2 + 1 1 2 u 1 / 2 d u = l i m b → ∞ 1 2 ( u 1 / 2 / ( 1 / 2 ) ) | 5 b 2 + 1 = l i m b → ∞ [ b 2 + 1 - 5 ] = ∞

Como a integral diverge, temos que nossa série diverge pelo teste da integral! Te vejo na próxima, tchauzinho!

Resposta

D