Use o teste da integral (11.23) para determinar a convergência ou divergência da série.

∑ n = 1 ∞ 1 ( 3 n + 2 ) 3

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Esta série utiliza o teste da integral para estabelecer a sua convergência ou divergência. Para podermos utilizar este teste devemos levar em consideração alguns fatores, tais como:

f ( x )   r e l a c i o n a d a   à   a n   d a   s é r i e   d e v e   s e r   c o n t í n u a   p a r a   x ≥ 1

f ( x )   r e l a c i o n a d a   à   a n   d e v e   s e r   p o s i t i v a   x ≥ 1

f ( x )   r e l a c i o n a d a   à   a n   d e v e   s e r   d e c r e s c e n t e   x ≥ 1

A função relacionada é sim sempre positiva, assim como é contínua, vamos verificar se ela é decrescente, beleza?

Passo 2

Para isso, vamos aplicar inicialmente a derivada da função f ( x ) relacionada, ou seja:

f ( x ) = 1 ( 3 x + 2 ) 3

A derivada em relação a x desta função pode ser obtida utilizando a regra do quociente (ou produto), juntamente com a regra da potência e da cadeia, obtendo o seguinte:

f ' ( x )   =   -   3 ( 3 x + 2 ) 4

Essa expressão é negativa para todo valor de x ≥ 1 , portanto a função é decrescente. Agora precisamos analisar a convergência da integral. Belezinha?

Passo 3

O teste da integral consiste em analisar a seguinte relação:

∫ 1 ∞ 1 ( 3 x + 2 ) 3 d x =   I

Se I for um valor finito, temos que esta série é convergente, e se I   for infinito, a série é divergente. Vamos então verificar o valor de I .

Passo 4

Como esta é uma integral imprópria, devemos escrever:

l i m b → ∞ ∫ 1 b 1 ( 3 x + 2 ) 3 d x

E para resolver esta integral é conveniente fazer uma mudança de variáveis do tipo u = 3 x + 2 , e portanto temos d u = 3 d x   → d x   =   d u / 3 . Obtendo a seguinte integral:

l i m b → ∞ ∫ 5 3 b + 2 1 3 u 3 d u

Agora, vamos resolver esta integral, belezinha?

Passo 5

Esta integral utiliza a regra da primitiva de expressões polinomiais, da forma:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

Em nosso caso, temos n = - 3 , portanto:

l i m b → ∞ ∫ 5 3 b + 2 1 3 u 3 d u = l i m b → ∞ 1 3 ( 1 - 2 1 u 2 ) | 5 3 b + 2 = - 1 6 l i m b → ∞ [ 1 ( 3 b + 2 ) 2 - 1 25 ] = - 1 6 × ( - 1 25   ) = 1 150

Como a integral converge à um valor finito, temos que nossa série é convergente pelo teste da integral! Te vejo na próxima, tchauzinho!

Resposta

C