Enunciado

Para uso neste exercício, definimos uma “matriz tabuleiro” como sendo uma matriz quadrada A =   a i j tal que.

a i j = 1 ,   s e   i + j   f o r   p a r 0 ,   s e   i + j   f o r   i m p a r

(a) Encontre o posto e a nulidade para uma matriz 3 × 3

(b) Encontre o posto e a nulidade para uma matriz 4 × 4

(c) Encontre o posto e a nulidade para uma matriz n × n

Passo 1

(a)

Vamos lá! Primeiros temos que escrever nossa matriz 3 × 3 seguindo a regra:

a i j = 1 ,   s e   i + j   f o r   p a r 0 ,   s e   i + j   f o r   i m p a r

Então nossa matriz vai ficar assim:

M T = 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Podemos simplificar nossa matriz substituindo a linha 3 por l 1 - l 3 , assim temos:

M T = 1 0 1 0 1 0 0 0 0

O posto é a quantidade de linhas não nulas e a nulidade é a quantidade de linhas nulas.

Assim temos:

p o s M T = 2   e   n u l M T = 1

Passo 2

(b)

Vamos lá! Primeiros temos que escrever nossa matriz 4 × 4 seguindo a regra:

a i j = 1 ,   s e   i + j   f o r   p a r 0 ,   s e   i + j   f o r   i m p a r

Então nossa matriz vai ficar assim:

M T = 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1

Podemos simplificar nossa matriz substituindo a linha 3 por l 1 - l 3 e a linha 4 por l 2 - l 4 assim temos:

M T = 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

O posto é a quantidade de linhas não nulas e a nulidade é a quantidade de linhas nulas.

Assim temos:

p o s M T = 2   e   n u l M T = 2

Passo 3

()

Vamos lá! Primeiros temos que escrever nossa matriz n × n seguindo a regra:

a i j = 1 ,   s e   i + j   f o r   p a r 0 ,   s e   i + j   f o r   i m p a r

Então nossa matriz vai ficar assim:

M T = 1 0 ⋯ 0   o u   1 0 1 ⋯ 1   o u   0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0   o u   1 1   o u   0 ⋯ 1   o u   0

Agora temos que pegar a lógica pra esse tipo de problema, independentemente do valor de n somente a primeira e a segunda linha serão não nulas após a simplificação da nossa matriz.

Pois todas as linhas de número ímpar serão iguais a primeira linha e todas as linhas de número par serão igual a segunda linha.

Seguindo essa lógica temos:

M T = 1 0 ⋯ 0   o u   1 0 1 ⋯ 1   o u   0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0

O posto é a quantidade de linhas não nulas e a nulidade é a quantidade de linhas nulas.

Assim temos:

p o s M T = 2   e   n u l M T = n - 2

Resposta

(a) p o s M T = 2   e   n u l M T = 1

(b) p o s M T = 2   e   n u l M T = 2

(c) p o s M T = 2   e   n u l M T = n - 2

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