A = [uarr uarr uarr u v w darr darr darr] , u , v e w ϵ R^3 , com d e t d e t ( A ) = 7 .

a. d e t d e t [uarr uarr uarr 2 v w u darr darr darr]

b. d e t d e t [uarr uarr uarr u 3 v - w w darr darr darr]

c. d e t d e t [larr w -> larr v + u - w -> larr u ->]

d. d e t d e t [larr 2 u -> larr 2 v -> larr 2 w ->]

e. Se á r e a ( Q ) = 6 , então á r e a ({A v ; v in Q}) = _ _ _ e á r e a ({w ; A w in Q}) = _ _ _

f. Se a u + b v + c w = 0 , então a + b + c = _ _ _ _ .

Passo 1

Faaala, galeeera!

Letra a)

Quando multiplicamos uma linha ou coluna da matriz por um escalar lambda o seu determinante também é multiplicado. Logo, temos:

lambda = 2

d e t d e t [uarr uarr uarr 2 v w u darr darr darr] = d e t d e t ( A ) * lambda = 7 * 2 = 14

Passo 2

Letra b)

Temos neste caso a multiplicação por escalar e a subtração. Logo:

d e t d e t [uarr uarr uarr u 3 v - w w darr darr darr] = d e t d e t ( A ) * 3 * (- 1) = - 21

Passo 3

Letra c)

Aqui temos a soma de um múltiplo de outra linha e posteriormente a subtração de outra linha. Neste caso, com a soma o determinante não se altera e com a subtração mudamos o sinal. Logo, temos:

d e t d e t [larr w -> larr v + u - w -> larr u ->] = (1) * d e t d e t (A) * (- 1) = - 7

Passo 4

Letra d)

Aqui também temos a multiplicação por escalares, porém em todas as linhas. Logo:

d e t d e t [larr 2 u -> larr 2 v -> larr 2 w ->] = d e t d e t ( A ) * 2 * 2 * 2 = 7 * 2 * 2 * 2 = 56

Passo 5

Letra e)

Devemos multiplicar a área por 6 . Logo:

á r e a (A (Q)) = 6 * 7 = 42

Observe que fazendo u = A w , ({w ; A w ϵ}) = ( { A^(- 1) u ; u ϵ Q } ) , então a área de A^(- 1) (Q) = (6)/(7) .

Passo 6

Letra f)

Note que como d e t d e t ( A ) != 0 , os vetores são LIs. Assim, a = b = c = 0 . Logo a + b + c = 0 .

Prontinho!

Resposta

a. d e t d e t [uarr uarr uarr 2 v w u darr darr darr] = 14

b. d e t d e t [uarr uarr uarr u 3 v - w w darr darr darr] = - 21

c. d e t d e t [larr w -> larr v + u - w -> larr u ->] = - 7

d. d e t d e t [larr 2 u -> larr 2 v -> larr 2 w ->] = 56

e. Se á r e a ( Q ) = 6 , então á r e a ({A v ; v in Q}) = 42 e á r e a ({w ; A w in Q}) = (6)/(7)

f. Se a u + b v + c w = 0 , então a + b + c = 0 .