Enunciado

Para o valor dado de k , grafe f ( x ) = ( 1 + x ) k e g ( x ) = 1 + k x no mesmo plano coordenado, para - 1 ≤ x ≤ 1 . Use os gráficos para estimar o maior intervalo fechado no qual | f ( x ) - g ( x ) | ≤ 1 10 .

k = 1 / 2

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

Para esta questão primeiramente vamos plotar gráficos das funções para o valor de k pedido, em nosso caso resultando em:

f ( x )   =   ( 1 + x ) 1 / 2

e

g ( x )   =   1 + 1 2 x

Vamos primeiro ver como são os gráficos. Beleza?

Passo 2

Você pode esboçar estes gráficos jogando pontos, ou através de métodos de cálculo I, mas vamos nos manter aqui em apenas olhar ambos, saca só:

Em que a curva verde é a f ( x ) e a curva azul é a g ( x ) , belezinha? Para sabermos o maior intervalo nos quais a relação pedida seja obedecida, é interessante obtemos a intersecção destas duas curvas, saca só!

Passo 3

Estas curvas se interceptam quando:

f ( x ) = g ( x ) → ( 1 + x ) 1 / 2 = 1 + 1 2 x → 1 + x = 1 + 1 4 x 2 + x → x = 0

Em que ambas têm o mesmo valor dado por f ( x ) = g ( x ) = 1 . Ou seja, se interceptam no ponto A ( 0,1 ) , para analisarmos o intervalo no qual temos | f ( x ) - g ( x ) | ≤ 1 / 10 , precisamos obter o intervalo no qual a distância a distância entre as curvas não seja maior que a distância entre A ( 0,1 ) , com outros pontos tais que B ( 0,1 + 0,1 ) e C ( 0,1 - 0,1 ) .

Vamos analisar isso no gráfico, saca só!

Passo 4

Os pontos B , C e A podem ser adicionados no gráfico como:

Aqui temos como referências que os quadrados maiores tem lado 0,1 , portanto, note que podemos avaliar quando a distância entre as curvas se torna maior do que 1 quadrado de 0,1 de lado. Preste atenção no seguinte intervalo:

Ou seja, na coordenada inferior x = - 0,7 temos que a distância entre as duas curvas é 0,1 , vamos achar o outro limite.

Passo 5

Agora para o outro intervalo é possível aproximar a seguinte coordenada:

Percebe-se que para x = 1,1 , a distância é exatamente 0,1 . Obtemos assim o nosso intervalo, te vejo na próxima questão!

Resposta

- 0,7 ≤ x ≤ 1,1