O valor da entrada de um cinema é R$ 8,00 e da meia entrada R$ 5,00. Qual é o menor número de pessoas que pode assistir a uma sessão de maneira que a bilheteria seja de R$ 500,00? (Em tempo: a capacidade desse cinema é suficiente para esse número de pessoas).

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos escrever no formato de uma equação, o problema que nos foi dado. Sendo x o número de entradas e y o número de meias entradas:

8 x + 5 y = 500

Vamos resolver essa diofantina! Uma solução possível é x = 2   e   y = - 3 , e o mdc(8,5) = 1:

8 2 + 5 - 3 = 1

Multiplicando por 500:

8 1000 + 5 - 1500 = 500

(1000, -1500) é uma solução particular dessa equação, mas com certeza não é o menor número possível de pessoas. A solução geral é dada por:

1000 - 5 m d c 8,5 ⋅ t , - 1500 + 8 m d c 8,5 ⋅ t = 1000 - 5 t , - 1500 + 8 t   c o m   t ∈ Z

x , y = 1000 - 5 t , - 1500 + 8 t

Passo 2

Sabemos que as nossas soluções não podem ser negativas, pois não existe numero de pessoas negativas, né?! Então t, que é o nosso número de pessoas, deve ser maior que zero, veja:

1000 - 5 t ≥ 0   e   - 1500 + 8 t ≥ 0

t ≤ 200   e   t ≥ 188

t deve estar no intervalo [ 188,200 ] , visto que t ∈ Z . Portanto, o menor número de pessoas que pode assistir à sessão para que a bilheteria seja de 500 reais são 188 pessoas.

Resposta

188 pessoas.