Para que valor de k , o ponto P   = ( - 1 , - 3 , k ) pertença ao plano determinado pelas retas { x - 1 2 = y + 2 - 3 = z - 1 - 1 e

⎧ x = - 1 + 2 λ

  s   ⎢ y = 1 - λ ?

      ⎩ z = 2 + λ

Passo 1

Fala, galerinha! Olha só, o plano determinado pelas retas r e s contém os vetores diretores dessas retas. O vetor diretor de s é fácil de identificar v → s = ( 2 , - 1,1 ) . Já para o vetor diretor de r , precisamos reescrever as equações da reta na forma paramétrica:

r { x - 1 2 = y + 2 - 3 = z - 1 - 1 = α

⇒ x = 1 + 2 α ;   y = - 2 - 3 α ;   z = 1 - α

Assim, o vetor diretor da reta r é v → r = ( 2 , - 3 , - 1 ) . Ok! Mas ainda precisamos de um terceiro vetor. Para isso, vamos fazer α = 0 na reta r para encontrar o ponto R = ( 1 , - 2,1 ) . Com isso, obtemos o seguinte vetor

R X → = X - R = ( x , y , z ) - ( 1 , - 2,1 ) = ( x - 1 , y + 2 , z - 1 )

Passo 2

Como os vetores v → s = ( 2 , - 1,1 ) , v → r = ( 2 , - 3 , - 1 ) e R X → = ( x - 1 , y + 2 , z - 1 ) pertencem ao mesmo plano, então eles são l.d. Isso quer dizer que o determinante dos três vetores é nulo:

⎜ x - 1           y + 2           z - 1 ⎜

⎜         2               -   1                             1           ⎜ = ( x - 1 ) ( 1 + 3 ) - ( y + 2 ) ( - 2 - 2 ) + ( z - 1 ) ( - 6 + 2 ) = 0

⎜         2                 - 3             -   1           ⎜

4 x - 4 + 4 y + 8 - 4 z + 4 = 0

⇒ 4 x + 4 y - 4 z + 8 = 0

⇒ x + y - z + 2 =   0

Beleza. Agora sabemos que o plano que contém as duas retas é

x + y - z + 2 =   0

Passo 3

Agora, vamos substituir P   = ( - 1 , - 3 , k ) na equação do plano:

x + y - z + 2 =   0 ⇒ - 1 - 3 - k + 2 = 0 ⇒ - k - 2 = 0 ⇒ k =   - 2

Resposta

k = - 2