Seja p um ideal primo no anel de integridade infinito A . Mostre que p [ x ] é um ideal primo em A [ x ] . se M é um ideal maximal em A , M [ x ] é maximal em A [ x ] ?

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi Seja p um ideal primo no anel de integridade infinito A . Mostre que p [ x ] é um ideal primo em A [ x ] . se M é um ideal maximal em A , M [ x ] é maximal em A [ x ] ?

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera nessa questão para mostrarmos que p [ x ] é um ideal em A [ x ] , temos que

f x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n

Sendo,

A x = k ( x + i ) ( x - 2 i ) ( x + 2 i ) ( x + 3 i ) ( x - 3 i )

Logo,

A x = k ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 9 )

Ficando,

A x = k x 6 + 14 x 4 + 49 x 2 + 36 ,   c o m   k ≠ 0

Logo,

A x = k ≠ 0

E como A x = M [ x ] podemos dizer que se seu maximal A   e   M é

k ≠ 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

k ≠ 0