Fala, galerinha! Se estiver com dúvida nessa questão, vem comigo que vai ser sucesso.

1. Vamos começar com o básico, que é escrever a superfície esférica na forma reduzida:

Beleza, então agora sabemos que o centro da esfera está no ponto e tem raio . Para que o plano seja secante à esfera, precisamos que a distância do centro até o plano seja menor que o raio da esfera. Se for igual, o plano é só tangente, ou seja, só toca a esfera em um ponto; se for maior, então o plano não passa pela esfera. Beleza, então vamos usar a fórmula da distância

Agora, vamos usar e já que o plano é e também porque o ponto é :

Agora, vamos lembrar que essa distância tem que ser menor que o raio da esfera, que é :

Prontinho, galera. Essa é a condição que a gente precisava encontrar para .

Passo 2

2. Quando , temos o plano . Para descobrir o raio da circunferência, usamos o teorema de Pitágoras:

onde conhecemos e é dado por:

Então,

Para descobrir o centro da circunferência, vamos usar um ponto genérico e calcular o seguinte vetor

Temos que nos ligar em dois detalhes sobre esse vetor. Primeiro, ele é normal ao plano, então deve ser igual a , onde . Segundo, o módulo desse vetor é igual a distância entre o plano e o centro da esfera, . Usando a primeira condição, obtemos

Observando o lado direito das equações acima, vemos que

Vamos substituir isso na equação do vetor:

e calcular o módulo do vetor, que deve ser igual a :

Assim, vemos que e . Então, temos. E, aí? Responde Aí o que você achou desta resolução.