Verifique que define um produto interno de com e , a função
Passo 1
Oii gente, tudo certo?
Para mostrarmos que a operação define um produto interno, temos que mostrar que ela cumpre com os 4 axiomas:
- Simetria
- Homogeneidade
- Aditividade
- Positividade
Então vamos lá!
Passo 2
Vamos começar pela simetria, temos que mostrar que
Temos que
E, invertendo, temos que
Concorda comigo que as duas operações são iguais?
Então, e está comprovada a simetria
Passo 3
Agora vamos verificar a homogeneidade, ou seja, mostrar que
Temos que , então
Colocando em evidência:
Isso é a mesma coisa que multiplicando o
Então, ta provado que
Passo 4
Agora vamos verificar a aditividade
Seja um vetor , temos que verificar que
Vamos lá, sabendo que , temos
Que é a mesma coisa que 😊 Então a aditividade está provada!
Passo 5
Por fim, vamos verificar a positividade, fazendo e verificando que isso é positivo, sabendo que :
Que é positivo, então, a positividade está provada 😊
Resposta
Demonstração