Verifique que define um produto interno de R ² com u = ( x 1 , x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) , a função

f u , v = x 1 y 1 - 2 x 1 y 2 - 2 x 2 y 1 + 5 x 2 y 2

Passo 1

Oii gente, tudo certo?

Para mostrarmos que a operação define um produto interno, temos que mostrar que ela cumpre com os 4 axiomas:

- Simetria

- Homogeneidade

- Aditividade

- Positividade

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pela simetria, temos que mostrar que f u , v = f v , u

Temos que

f u , v = x 1 y 1 - 2 x 1 y 2 - 2 x 2 y 1 + 5 x 2 y 2

E, invertendo, temos que

f v , u = y 1 x 1 - 2 y 2 x 1 - 2 y 1 x 2 + 5 y 2 x 2

Concorda comigo que as duas operações são iguais?

Então, f u , v = f v , u e está comprovada a simetria

Passo 3

Agora vamos verificar a homogeneidade, ou seja, mostrar que f λ u , v = λ . f u , v

Temos que λ . u = ( λ x 1 , λ x 2 ) , então

f λ u , v = λ x 1 y 1 - 2 λ x 1 y 2 - 2 λ x 2 y 1 + 5 λ x 2 y 2

Colocando λ em evidência:

f λ u , v = λ x 1 y 1 - 2 x 1 y 2 - 2 x 2 y 1 + 5 x 2 y 2

Isso é a mesma coisa que λ multiplicando o f u , v

Então, ta provado que f λ u , v = λ . f u , v

Passo 4

Agora vamos verificar a aditividade

Seja um vetor w = ( x 3 , y 3 ) , temos que verificar que f u + w , v = f u , v + f ( w , v )

Vamos lá, sabendo que u + w = ( x 1 + x 3 , y 1 + y 3 ) , temos

f u + w , v = x 1 + x 3 . ( y 1 + y 3 ) - 2 ( x 1 + x 3 ) y 2 - 2 x 2 ( y 1 + y 3 ) + 5 x 2 y 2

Que é a mesma coisa que f u , v + f ( w , v ) 😊 Então a aditividade está provada!

Passo 5

Por fim, vamos verificar a positividade, fazendo f ( u , u ) e verificando que isso é positivo, sabendo que u = ( x 1 , x 2 ) :

f u , u = x 1 x 1 - 2 x 1 x 2 - 2 x 2 x 1 + 5 x 2 x 2

f u , u = x 1 ² - 4 x 1 x 2 + 5 x 2 ²

Que é positivo, então, a positividade está provada 😊

Resposta

Demonstração