Verifique se a função f :   A → B é ou não é um homomorfismo do anel A no anel B nos seguinte caso

A =   Z , B =   Z ,   Z x Z , f ( x , y )   = ( y , x )

Passo 1

Saudações galera! Tudo bem?

Antes de resolver essa questão vamos só lembrar de um detalhe!

De acordo com a definição para uma função ser considerada homomorfismo deve obedecer que:

a )   f ( a + b )   =   f ( a ) + f ( b )

b ) f ( a b ) =   f ( a ) f ( b )

c ) f ( 1 r ) =   1 s

Acho que estamos prontos para começar, vamos nessa!

Passo 2

Considerando f : Z x Z → Z x Z   d a d o   p o r   f x , y = ( y , x )

Aplicando a definição temos que:

a )   f x + y =   f y + f z           a   o p e r a ç ã o   d e   a d i ç ã o   é   c o m u t a t i v a   e m   Z

b ) f x . y =   f y f x             a   o p e r a ç ã o   d e   m u l t i p l i c a ç ã o   é   c o m u t a t i v a   e m   Z

c ) f 1.1 =   1.1 = 1

Como todas as condições foram obedecida é homomorfismo

Resposta

É homomorfismo