Verifique quais das matrizes seguintes são diagonalizáveis:

(a)

⎜       a                   b         ⎜

⎜   3 b                 c           ⎜

Passo 1

Fala, galerinha!

Nessa questão, só temos que ver se a matriz A tem dois autovalores distintos. Se sim, ela é diagonalizável, beleza? Para calcular os autovalores, usamos

d e t ( A - t I 2 ) = 0 ⇒ ( a - t ) ( c - t ) - 3 b 2 = 0

⇒ t 2 - ( a + c ) t + a c - 3 b 2 = 0

⇒ t = a + c ± ( a + c ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( a c - 3 b 2 ) 2 = a + c ± ( a - c ) 2 + 12 b 2 2

Então, vemos que temos duas raízes diferentes, ou seja, dois autovalores diferentes, quando ( a - c ) 2 + 12 b 2 ≠ 0 . Essa condição é válida contanto que não tenhamos a = c e b = 0 simultaneamente, porque nesse caso, ( a - c ) 2 + 12 b 2 = 0 .

Resposta

Diagonalizável quando ( a - c ) 2 + 12 b 2 ≠ 0 .