a) Verifique que o ponto A ( 2 ,   4 ,   1 ) pertence à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 21 .

b) Determine o ponto B tal que AB seja um diâmetro desta esfera.

Passo 1

a) É só substituirmos as coordenadas do ponto A ( 2 ,   4 ,   1 ) na equação x 2 + y 2 + z 2 = 21 :

2 2 + 4 2 + 1 2 = 21

4 + 16 + 1 = 21

21 = 21

Verificamos que o ponto A ( 2 ,   4 ,   1 ) satisfaz a equação, então ele pertence à esfera.

Passo 2

b) Para A B ser um diâmetro da esfera, o ponto B ( a , b , c ) tem que pertencer à reta s que passa pelo ponto A   e pelo centro da esfera   C e tem que pertencer à esfera.

Vamos começar garantindo que B ( a , b , c ) pertença à esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 21 :

a 2 + b 2 + c 2 = 21   ( 1 ) .

Passo 3

Agora vamos determinar a reta s :

A equação de uma esfera qualquer de centro C ( x 0 , y 0 , z 0 ) e raio r é ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = r 2 .

Comparando com a equação x 2 + y 2 + z 2 = 21 temos que a nossa esfera tem centro C ( 0,0 , 0 )   e raio 21 .

Lembrando que a equação da reta s   que passa pelos pontos A ( x 1 , y 1 , z 1 )   e   C ( x 0 , y 0 , z 0 )     é dada pelo vetor diretor C A   → = ( x 1 - x 0 , y 1 - y 0 , z 1 - z 0 ) e as coordenadas do ponto C :

s : f ( x )   =   \ b e g i n { c a s e s }           x ^ 2 ,   &   x < 0   \ \           x ,   &   x   \ g e q   0   \ e n d { c a s e s }  

Finalmente vamos usar a informação de que a distância entre A   e   B   ,   d ( A , B ) tem que ser igual ao diâmetro da esfera!

Então, d ( A , B ) = 2 21   ( 2 )

Você se lembra da fórmula da distância entre dois pontos A ( x 1 , y 1 , z 1 )   e   B ( x 2 , y 2 , z 2 ) quaisquer? Essa fórmula é: d ( A , B ) = ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 + ( z 1 - z 2 ) 2

Então, para A ( 2,4 , 1 )   e   B ( a , b , c ) temos que:

d ( A , B ) = ( 2 - a ) 2 + ( 4 - b ) 2 + ( 1 - c ) 2

d ( A , B ) = 4 - 2 a + a 2 + 16 - 8 b + b 2 + 1 - 2 c + c 2

d ( A , B ) = a 2 + b 2 + c 2 - 2 a - 8 b - 2 c + 21

Mas, pela equação ( 1 ) temos que a 2 + b 2 + c 2 = 21  

Então,

d ( A , B ) = 21 - 2 a - 8 b - 2 c + 21

d ( A , B ) = 42 - 2 a - 8 b - 2 c

Mas, pela equação ( 2 ) temos que d ( A , B ) = 2 21  

Então,

d ( A , B ) = 42 - 2 a - 8 b - 2 c = 2 21

( 42 - 2 a - 8 b - 2 c ) 2 = ( 2 21 ) 2

42 - 2 a - 8 b - 2 c = 84

- 2 a - 8 b - 2 c = 42

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)