a) Verifique que o ponto pertence à esfera .
b) Determine o ponto B tal que AB seja um diâmetro desta esfera.
Passo 1
a) É só substituirmos as coordenadas do ponto na equação :
Verificamos que o ponto satisfaz a equação, então ele pertence à esfera.
Passo 2
b) Para ser um diâmetro da esfera, o ponto tem que pertencer à reta que passa pelo ponto e pelo centro da esfera e tem que pertencer à esfera.
Vamos começar garantindo que pertença à esfera de equação :
.
Passo 3
Agora vamos determinar a reta :
A equação de uma esfera qualquer de centro e raio é .
Comparando com a equação temos que a nossa esfera tem centro e raio .
Lembrando que a equação da reta que passa pelos pontos é dada pelo vetor diretor e as coordenadas do ponto :
Finalmente vamos usar a informação de que a distância entre tem que ser igual ao diâmetro da esfera!
Então,
Você se lembra da fórmula da distância entre dois pontos quaisquer? Essa fórmula é:
Então, para temos que:
Mas, pela equação temos que
Então,
Mas, pela equação temos que
Então,
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)