Verifique a posição relativa da reta
e a superfície esférica . Se possível, determine uma equação cartesiana do plano que contém a reta e é tangente à superfície esférica.
Passo 1
E aí, galerinha! Vamos fazer o de sempre, escrever a equação da superfície esférica na sua forma reduzida:
Assim, podemos determinar o centro da esfera e o raio .
Passo 2
É dado a reta
Com isso, podemos verificar para quais valores de há interseções na superfície esférica:
Bora resolver essa equação do segundo grau:
Então, há uma interseção para no ponto
Agora, vamos analisar a distância entre esse ponto e o centro da esfera e depois comparar com o raio para saber a posição relativa:
Logo, a reta e a superfície esférica são tangentes, porque só se tocam em um ponto.
Passo 3
Calma, essa parte é fácil, vamos pegar o vetor que liga o ponto ao centro da esfera . Esse vetor será paralelo ao vetor normal do plano que queremos descobrir. Assim,
Então, o plano terá a seguinte cara:
E agora? Responde Aí como achar o . Calma, vamos usar o fato que a distância entre o centro da esfera e o plano tangente à superfície esférica será igual ao raio da esfera. Logo,
Sucesso! Então o plano é
Resposta
tangentes;
.