Verifique a posição relativa da reta

⎧ x = 8 + 2 λ

  t   ⎢ y   = - 1

      ⎩ z   = 3 + λ

e a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 4 y + 4 z + 3 = 0 . Se possível, determine uma equação cartesiana do plano que contém a reta t e é tangente à superfície esférica.

Passo 1

E aí, galerinha! Vamos fazer o de sempre, escrever a equação da superfície esférica na sua forma reduzida:

x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 4 y + 4 z + 3 = 0

⇒ x 2 - 6 x + 9 - 9 + y 2 - 4 y + 4 - 4 + z 2 + 4 z + 4 - 4 + 3 = 0

⇒ ( x - 3 ) 2 - 9 + ( y - 2 ) 2 - 4 + ( z + 2 ) - 4 + 3 = 0

⇒ ( x - 3 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z + 2 ) = 14

Assim, podemos determinar o centro da esfera C = ( 3,2 , - 2 ) e o raio r = 14 .

Passo 2

É dado a reta

t = ( 8 + 2 λ , - 1,3 + λ )

Com isso, podemos verificar para quais valores de λ há interseções na superfície esférica:

( x - 3 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z + 2 ) = 14

⇒ ( 8 + 2 λ - 3 ) 2 + ( - 1 - 2 ) 2 + ( 3 + λ + 2 ) = 14

⇒ ( 5 + 2 λ ) 2 + 9 + ( 5 + λ ) 2 = 14

⇒ 25 + 20 λ + 4 λ 2 + 9 + 25 + 10 λ + λ 2 = 14

⇒ 5 λ 2 + 30 λ + 45 = 0

⇒ λ 2 + 6 λ + 9 = 0

Bora resolver essa equação do segundo grau:

λ   =   - 6 ± 36 - 36 2   =   - 6 ± 0 2   ⇒ λ     = - 3

Então, há uma interseção para λ     = - 3 no ponto

T = ( 8 + 2 λ , - 1,3 + λ ) = ( 2 , - 1,0 )

Agora, vamos analisar a distância entre esse ponto e o centro da esfera e depois comparar com o raio para saber a posição relativa:

d ( C , T ) = | ( 2 , - 1,0 ) - ( 3,2 , - 2 ) | = | - 1 , - 3,2 | = 1 + 9 + 4 = 14

Logo, a reta e a superfície esférica são tangentes, porque só se tocam em um ponto.

Passo 3

Calma, essa parte é fácil, vamos pegar o vetor que liga o ponto T ao centro da esfera C . Esse vetor T C → será paralelo ao vetor normal do plano que queremos descobrir. Assim,

n → = T C   → = C - T = ( 3,2 , - 2 ) - ( 2 , - 1,0 ) = ( 1,3 , - 2 )

⇒ n → = ( 1,3 , - 2 )

Então, o plano terá a seguinte cara:

x + 3 y - 2 z + d = 0

E agora? Responde Aí como achar o d . Calma, vamos usar o fato que a distância entre o centro da esfera e o plano tangente à superfície esférica será igual ao raio da esfera. Logo,

d ( C , π ) = 14   ⇒ | 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 - 2 ⋅   ( - 2 ) + d | 1 + 9 + 4   = 14   ⇒ | 13 + d | = 14

⇒ 13 + d = 14

⇒ d = 1

Sucesso! Então o plano é

x + 3 y - 2 z + 1 = 0

Resposta

tangentes;

x + 3 y - 2 z + 1 = 0 .