Verifique que quaisquer que sejam os valores de 𝜃 e 𝜙, 0 ≤ θ ≤ 2 π   e 0 ≤ ϕ ≤ π , o ponto ( r   s e n ϕ   c o s θ ,   r   s e n ϕ   s e n θ ,   r   c o s ϕ ) pertence à esfera de raio r e centro na origem.

Passo 1

Primeiro vamos relembrar a equação da esfera de raio r e centro C ( x 0 , y 0 , z 0 ) : r 2 = ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Então, para o centro na origem:

r 2 = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Agora vamos substituir as coordenadas do ponto na equação da esfera e verificar se a equação se satisfaz:

r 2 = ( r   s e n ϕ   c o s θ ) 2 + ( r   s e n ϕ   s e n θ ) 2 + (   r   c o s ϕ ) 2

r 2 = r 2   s e n 2 ϕ   c o s 2 θ + r 2   s e n 2 ϕ   s e n 2 θ + r 2   c o s 2 ϕ

r 2 = r 2   ( s e n 2 ϕ   c o s 2 θ +   s e n 2 ϕ �� s e n 2 θ +   c o s 2 ϕ )

r 2 = r 2   ( s e n 2 ϕ   ( c o s 2 θ +   s e n 2 θ ) +   c o s 2 ϕ )

Pela identidade trigonométrica s e n 2 x + c o s 2 x = 1 ,   p a r a   q u a l q u e r   v a l o r   d e   x   r e a l   , temos:

r 2 = r 2   ( s e n 2 ϕ   . ( 1 )   +   c o s 2 ϕ )

r 2 = r 2   ( s e n 2 ϕ     +   c o s 2 ϕ )

r 2 = r 2 . ( 1 )

r 2 = r 2

O que é uma verdade! Logo, o ponto ( r   s e n ϕ   c o s θ ,   r   s e n ϕ   s e n θ ,   r   c o s ϕ ) pertence à esfera de raio r e centro na origem.

Passo 3

Pela identidade trigonométrica s e n 2 x + c o s 2 x = 1 ,   p a r a   q u a l q u e r   v a l o r   d e   x   r e a l   , temos:

r 2 = r 2   ( s e n 2 ϕ   . ( 1 )   +   c o s 2 ϕ )

r 2 = r 2   ( s e n 2 ϕ     +   c o s 2 ϕ )

r 2 = r 2 . ( 1 )

r 2 = r 2

O que é uma verdade! Logo, o ponto ( r   s e n ϕ   c o s θ ,   r   s e n ϕ   s e n θ ,   r   c o s ϕ ) pertence à esfera de raio r e centro na origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)