a) Verifique que qualquer ponto da reta

x   =   2

r :   y   =   2   +   t

z   =   3 - t

é equidistante de   A ( 1 ,   2 ,   1 ) ,   B ( 1 ,   4 ,   3 )   e   C ( 3 ,   2 ,   1 ) .

b) Determine o ponto de   r mais próximo destes pontos.

Passo 1

Oi oi meus Xuxus!

Facilitaria muito se tivéssemos uma fórmula que calculasse a distância entre ponto e reta! Mas, espera… Nós temos!

D = | Q P   × v | → | v | , Sendo v o vetor diretor da reta, Q um ponto qualquer da reta, e P ( a , b , c ) o ponto que queremos calcular a distância.

Lembrando que o vetor diretor pode ser obtido pelos termos que acompanham o parâmetro t na equação da reta, então v = ( 0,1 , - 1 )

Para t = 0 , temos Q ( 2,2 , 3 ) .

Então, D = | Q P   × v | → | v | = | ( a - 2 , b - 2 , c - 3 ) × ( 0,1 , - 1 ) | 0 2 + 1 2 + ( - 1 ) 2 = | ( a - 2 , b - 2 , c - 3 ) × ( 0,1 , - 1 ) | 2 = | ( 5 - b - c , a - 2 , a - 2 ) | 2

Passo 2

Para P ( a , b , c ) = A ( 1,2 , 1 )   temos:

D = | ( 5 - b - c , a - 2 , a - 2 ) | 2 = | ( 2 , - 1 , - 1 ) | 2 = 2 2 + ( - 1 ) 2 + ( - 1 ) 2 2 = 6 2 = 3

Para P ( a , b , c ) = B ( 1 ,   4 ,   3 )   temos:

D = | ( 5 - b - c , a - 2 , a - 2 ) | 2 = | ( - 2 , - 1 , - 1 ) | 2 = ( - 2 ) 2 + ( - 1 ) 2 + ( - 1 ) 2 2 = 6 2 = 3

Para P ( a , b , c ) = C ( 3 ,   2 ,   1 )   temos:

D = | ( 5 - b - c , a - 2 , a - 2 ) | 2 = | ( 2,1 , 1 ) | 2 = 2 2 + 1 2 + 1 2 2 = 6 2 = 3

Passo 3

O ponto de   r mais próximo destes pontos será justamente aquele que dista 3 dos pontos.

Relembrando que, pela fórmula da distância entre dois pontos, a distância entre Q ( 2 ,   2 + t ,   3 - t ) (um ponto da reta) e P ( a , b , c )   é dada por:

D = ( 2 - a ) 2 + ( 2 + t - b ) 2 + ( 3 - t - c ) 2 e que D = 3

Então, ( 2 - a ) 2 + ( 2 + t - b ) 2 + ( 3 - t - c ) 2 = 3

( 2 - a ) 2 + ( 2 + t - b ) 2 + ( 3 - t - c ) 2 = 3

Para P ( a , b , c ) = A ( 1,2 , 1 )   temos:

( 2 - 1 ) 2 + ( 2 + t - 2 ) 2 + ( 3 - t - 1 ) 2 = 3

( 1 ) 2 + ( t ) 2 + ( 2 - t ) 2 = 3

t 2 + t 2 - 4 t + 4 + 1 = 3

2 t 2 - 4 t + 2 = 0

t 2 - 2 t + 1 = 0

( t - 1 ) 2 = 0

t - 1 = 0

t = 1 ⇒ Q ( 2 ,   3 ,   2 )

Para P ( a , b , c ) = B ( 1 ,   4 ,   3 )   temos:

( 2 - 1 ) 2 + ( 2 + t - 4 ) 2 + ( 3 - t - 3 ) 2 = 3

1 2 + ( t - 2 ) 2 + t 2 = 3

t 2 - 4 t + 4 + 1 + t 2 - 3 = 0

2 t 2 - 4 t + 2 = 0

t 2 - 2 t + 1 = 0

( t - 1 ) 2 = 0

t - 1 = 0

t = 1 ⇒ Q ( 2 ,   3 ,   2 )

Para P ( a , b , c ) = C ( 3 ,   2 ,   1 )   temos:

( 2 - 3 ) 2 + ( 2 + t - 2 ) 2 + ( 3 - t - 1 ) 2 = 3

( - 1 ) 2 + t 2 + ( 2 - t ) 2 = 3

t 2 - 4 t + 4 + 1 + t 2 - 3 = 0

2 t 2 - 4 t + 2 = 0

t 2 - 2 t + 1 = 0

( t - 1 ) 2 = 0

t - 1 = 0

t = 1 ⇒ Q ( 2 ,   3 ,   2 )

O ponto é Q ( 2 ,   3 ,   2 ) .

Resposta

a) Resposta nos passos.

b) Q ( 2 ,   3 ,   2 )