Verifique que as retas

x   =   1   +   t                       x   =   - 2   +   2 t

r   :   y   =   2   - t             s :   y   =   - 5   +   3 t

z   =   5   +   t                         z   =   2   + 2 t

são concorrentes e determine uma equação do plano por elas definido.

Passo 1

O que garante que duas retas sejam concorrentes? Duas retas são concorrentes se seus vetores diretores não forem múltiplos escalares e que haja interseção.

Vamos começar mostrando que há interseção igualando as equações de x , y , z de cada reta e chegando a um resultado verdadeiro:

x   =   1   +   t 1   =   - 2   +   2 t 2

3 = 2 t 2 - t 1

  y   =   2   - t 1   =   - 5   +   3 t 2

7 = 3 t 2 + t 1

z   =   5   + t 1 =   2   + 2 t 2

3 = 2 t 2 - t 1

Somando as equações 3 = 2 t 2 - t 1 e 7 = 3 t 2 + t 1 :

10 = 5 t 2 ⇒ t 2 = 2 ⇒ 3 = 4 - t 1 ⇒ t 1 = 1

Substituindo t 2 = 2 e t 1 = 1 nas equações das retas temos que:

x   =   1   +   1 = 2                     x   =   - 2   +   4 = 2

r   :   y   =   2   - 1 = 1             s :   y   =   - 5   +   6 = 1

z   =   5   +   1 = 6                       z   =   2   + 4 = 6

E obtemos o ponto de interseção P ( 2,1 , 6 ) .

Passo 2

Agora vamos mostrar que os vetores diretores não são múltiplos escalares!

Lembrando que um vetor diretor pode ser obtido pelos termos que acompanham o parâmetro nas equações.

Assim, os vetores diretores de r   e   s , respectivamente, são: u = ( 1 , - 1,1 )   e   v = ( 2,3 , 2 ) .

Supondo que eles são múltiplos: u = k v ,   k   sendo um número real.

( 1 , - 1,1 ) = k ( 2,3 , 2 )

( 1 , - 1,1 ) = ( 2 k , 3 k , 2 k )

1 = 2 k ⇒ k = 1 2 e - 1 = 3 k ⇒ k = - 1 3 o que é um absurdo!

Então, eles não são múltiplos escalares.

Verificamos que as duas retas são concorrentes já que seus vetores diretores não são múltiplos escalares e que há interseção.

Passo 3

Vamos recordar como é a forma da equação do plano!

a ( x - x 0 ) + b ( y - y 0 ) + c ( z - z 0 ) = 0 , sendo n = ( a , b , c ) o vetor normal do plano e ( x 0 , y 0 , z 0 ) um ponto do plano.

Para encontrar a equação do plano temos que encontrar o vetor normal n = ( a , b , c ) do plano já que já sabemos um ponto pertencente ao plano (o ponto P ( 2,1 , 6 ) ).

Ele pode ser obtido pelo produto vetorial dos vetores diretores das retas concorrentes:

Como qualquer múltiplo não nulo de n também é normal ao plano, vamos escolher o vetor m = ( - 1,0 , 1 )   como vetor normal.

Assim, a equação do plano, utilizando as coordenadas do ponto de interseção P ( 2,1 , 6 ) , fica:

- ( x - 2 ) + 0 ( y - 1 ) + ( z - 6 ) = 0 ⇒ - x + z - 4 = 0   ⇒ x - z + 4 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)