Verifique se é subespaço vetorial de F ( a , b ; R ) o conjunto das funções f : a , b → R tais que:

f é derivável e f ' + 2 f = 0 ;

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais esse!!!

Antes de tudo, vamos lembrar como é caracterizado um subespaço vetorial. Seja V um espaço vetorial e U ⊂ V , temos que U é um subespaço vetorial se:

1- 0 ∈ U ;

2- U é fechado para soma vetorial, ou seja, se u ,   v ∈ U então u + v ∈ U ;

3- U é fechado para multiplicação por escalar, ou seja, se k ∈ R e u ∈ U então k u ∈ U ;

Sabendo disso, vamos para a questão!!!

Passo 2

Vamos verificar se o nosso conjunto satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial:

1- Podemos ver claramente que a função f x = 0 pertence ao nosso conjunto.

2- Sejam f 1 e f 2 duas funções do nosso conjunto. Temos que:

f 1 + f 2 ' + 2 f 1 + f 2 = f 1 ' + f 2 ' + 2 f 1 + 2 f 2 = f 1 ' + 2 f 1 + f 2 ' + 2 f 2 = 0

Portanto, f 1 + f 2 pertence ao nosso conjunto.

3- Seja f 1 uma função do nosso conjunto e k um real. Temos que:

k f 1 ' + 2 k f 1 = k f 1 ' + 2 k f 1 = k f 1 ' + 2 f 1 = 0

Portanto, k f 1 pertence ao nosso conjunto.

Sendo assim, podemos concluir que o nosso conjunto é um subespaço vetorial de F ( a , b ; R ) .

Resposta

É subespaço vetorial de F ( a , b ; R ) .