Verifique se é subespaço vetorial de F ( a , b ; R ) o conjunto das funções f : a , b → R tais que:

f x ≥ 0 para todo x ∈ [ a , b ] ;

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais esse!!!

Antes de tudo, vamos lembrar como é caracterizado um subespaço vetorial. Seja V um espaço vetorial e U ⊂ V , temos que U é um subespaço vetorial se:

1- 0 ∈ U ;

2- U é fechado para soma vetorial, ou seja, se u ,   v ∈ U então u + v ∈ U ;

3- U é fechado para multiplicação por escalar, ou seja, se k ∈ R e u ∈ U então k u ∈ U ;

Sabendo disso, vamos para a questão!!!

Passo 2

Seja f uma função do nosso conjunto, ou seja, uma função em que f x ≥ 0 para x ∈ [ a , b ] . Seja k um real, com k < 0 , temos que k f x = k f ( x ) , de modo que teremos k f x ≤ 0 para x ∈ [ a , b ] , ou seja, k f não pertence ao nosso conjunto. Sendo assim, o conjunto não satisfaz a terceira condição para ser um subespaço vetorial, donde concluímos que ele não é um subespaço vetorial de F ( a , b ; R )   .

Resposta

Não é subespaço vetorial de F ( a , b ; R )   .