Verifique se é subespaço vetorial o subconjunto das matrizes quadradas:

(d) Determine bases para os subespaços acima quando a matriz é 2 × 2 e 3 × 3.

Passo 1

d) Para determinarmos base de matrizes: triangular superior, diagonal e simétrica são os valores não nulos das matrizes

Se uma matriz 2x2 tem forma:

a 11   a 12   a 21   a 22  

Passo 2

Os termos em matrizes 2x2:

  • Triangular Superior:
  • Matriz triangular superior deve ter os elementos abaixo da diagonal principal zerados, mas sobre os elementos na diagonal e acima dela nada é especificado, assim:

    a   b   0   c  

    Logo a base é: a 11   ,   a 12   ,   a 22

  • Diagonal:
  • Sabendo que a matriz diagonal tem seus termos, que não estão na diagonal principal, todos nulos, assim:

    a   0   0   b  

    Logo a base é: a 11   ,   a 22

  • Simétrica:
  • Uma matriz simétrica possuir termos a i , j = a j , i , por exemplo a matriz:

    a   b   b   a  

    Logo a base é: a 11   ,   a 12 + a 21   , a 22

    Passo 3

    Para determinarmos base de matrizes: triangular superior, diagonal e simétrica são os valores não nulos das matrizes

    Se uma matriz 3x3 tem forma:

    a 11   a 12   a 13   a 21   a 22   a 23   a 31   a 32   a 33  

    Os termos em matrizes 3x3:

  • Triangular Superior:
  • Matriz triangular superior deve ter os elementos abaixo da diagonal principal zerados, mas sobre os elementos na diagonal e acima dela nada é especificado, assim:

    a 11   a 12   a 13   0   a 22   a 23   0   0   a 33  

    Logo a base é: a 11   ,   a 12   ,   a 13   ,   a 22   ,   a 23   ,   a 33

  • Diagonal:
  • Sabendo que a matriz diagonal tem seus termos, que não estão na diagonal principal, todos nulos, assim:

    a 11   0   0   0   a 22   0   0   0   a 33  

    Logo a base é: a 11   ,   a 22   ,   a 33

  • Simétrica:

Uma matriz simétrica possuir termos a i , j = a j , i , por exemplo a matriz:

a 11   a 12   a 13   a 21   a 22   a 23   a 31   a 32   a 33  

Logo a base é: a 11   ,   a 12 + a 21   ,   a 13 + a 31 ,   a 22   ,   a 23 + a 32   ,   a 33

Resposta

2x2:

Triangular Superior: a 11   ,   a 12   ,   a 22

Diagonal: a 11   ,   a 22

Simétrica: a 11   ,   a 12 + a 21   , a 22

3x3:

Triangular Superior: a 11   ,   a 12   ,   a 13   ,   a 22   ,   a 23   ,   a 33

Diagonal: a 11   ,   a 22   ,   a 33

Simétrica: a 11   ,   a 12 + a 21   ,   a 13 + a 31 ,   a 22   ,   a 23 + a 32   ,   a 33