Verifique se é subespaço vetorial o subconjunto das matrizes quadradas:
(d) Determine bases para os subespaços acima quando a matriz é 2 × 2 e 3 × 3.
Passo 1
d) Para determinarmos base de matrizes: triangular superior, diagonal e simétrica são os valores não nulos das matrizes
Se uma matriz 2x2 tem forma:
Passo 2
Os termos em matrizes 2x2:
- Triangular Superior:
- Diagonal:
- Simétrica:
- Triangular Superior:
- Diagonal:
- Simétrica:
Matriz triangular superior deve ter os elementos abaixo da diagonal principal zerados, mas sobre os elementos na diagonal e acima dela nada é especificado, assim:
Logo a base é:
Sabendo que a matriz diagonal tem seus termos, que não estão na diagonal principal, todos nulos, assim:
Logo a base é:
Uma matriz simétrica possuir termos , por exemplo a matriz:
Logo a base é:
Passo 3
Para determinarmos base de matrizes: triangular superior, diagonal e simétrica são os valores não nulos das matrizes
Se uma matriz 3x3 tem forma:
Os termos em matrizes 3x3:
Matriz triangular superior deve ter os elementos abaixo da diagonal principal zerados, mas sobre os elementos na diagonal e acima dela nada é especificado, assim:
Logo a base é:
Sabendo que a matriz diagonal tem seus termos, que não estão na diagonal principal, todos nulos, assim:
Logo a base é:
Uma matriz simétrica possuir termos , por exemplo a matriz:
Logo a base é:
Resposta
2x2:
Triangular Superior:
Diagonal:
Simétrica:
3x3:
Triangular Superior:
Diagonal:
Simétrica: