Verify the uniqueness of A in Theorem 10. Let T: R n → R m be a linear transformation such that T(x) = Bx for some m x n matrix B. Show that if A is the standard matrix for T, then A = B. [Hint: Show that A and B have the same columns.]

Passo 1

Beleza pessoal, espero que estejam todos dispostos hoje a aprender mais um pouco de Álgebra Linear, pegue seu lápis e seu café que vamos começar.

Assumindo que T :   R n →   R m é uma transformação linear tal que T(x) = Bx para alguma matrix m   x   n

Passo 2

Defina T :   R n   → R m por T x = B x para alguma matriz m x n B, e seja A a matriz padrão para T

por definição,

A = T e 1 … T e j

Onde e j é a j-enésima coluna de I n .

pela multiplicação de vetores de matriz, T ( e j )   =   B e j = b j , a j-enésima coluna de B. Então

A = b 1 … b 2 = B

Podemos concluir então que a matriz A é exclusiva.

Resposta

A = B