O vetor a → é paralelo ao vetor ( 2 , - 1,2 ) e b →   =   a →   + ( - 1,0 , 1 ) . Sabendo que b → é coplanar com ( 4,0 , 1 ) e ( 1,1 , - 1 ) , escreva b → como combinação linear de ( 4,0 , 1 ) e ( 1,1 , - 1 ) .

Passo 1

E aí, galera. Vamos resolver essa questão seguindo as informações dadas por partes.

Primeiro, seja a →   =   ( x , y , z ) o vetor a ser determinado. Como a → é paralelo a ( 2 , - 1,2 ) , temos:

a →   =   k ( 2 , - 1,2 )   ⇒ ( x , y , z )   =   ( 2 k , - k , 2 k )   ⇒ a →   =   ( 2 k , - k , 2 k )  

Daí, b → é dado por

b →   =   ( 2 k , - k , 2 k )   + ( - 1,0 , 1 ) = ( 2 k - 1 , - k , 2 k + 1 )

Então, como b → é coplanar a ( 4,0 , 1 )   e ( 1,1 , - 1 ) , temos:

b →   =   α ( 4,0 , 1 )   + β ( 1,1 , - 1 )   =   ( 4 α   +   β ,   β ,   α - β )

Vamos igualar as duas equações acima e obter um sistema:

( 2 k - 1 , - k , 2 k + 1 )   =     ( 4 α   +   β ,   β ,   α - β )

⇒   2 k   - 1   = 4 α   +   β  

- k   =   β   ⇒ k   =   - β  

2 k + 1   =     α - β  

Somando a primeira e a terceira equação:

  2 k   - 1   +   2 k   +   1   = 4 α   +   β   +   α   - β   ⇒   4 k   =   5 α   ⇒   α   =   4 5 k

Substituindo o resultado da segunda equação k   =   - β e α   =   4 5 k = - 4 5 β   , na terceira, vem que:

2 ⋅ ( - β ) + 1   =   - 4 5 β   - β   ⇒ - 2 β   +   4 5 β   +   β   =   - 1   ⇒ - 10   + 4 +   5 5 β   =   -   1  

⇒ - 1 5 β   =   - 1   ⇒   β   =   5 .

Logo, k   =   - 5 ; α   =   - 4   e β   =   5 . Assim, ficamos com os seguintes vetores:

a →   =   ( - 10,5 , - 10 )

b →   =   α ( 4,0 , 1 )   + β ( 1,1 , - 1 )   =   - 4 ( 4,0 , 1 )   + 5 ( 1,1 , - 1 )

Resposta

b →   =   - 4 ( 4,0 , 1 )   + 5 ( 1,1 , - 1 )