Os vetores A B →   = ( 3 ,   - 1 ,   6 ) e A C → = ( 1,1 , - 4 ) determinam o paralelogramo de vértices A ,   B ,   C e D .

  1. Faça uma figura mais ou menos em escala, indicando os comprimentos dos lados.
  2. Determine o coseno do ângulo que a maior diagonal forma com o maior lado.
  3. Determine o coseno do maior ângulo do paralelogramo.

Passo 1

  1. Como o paralelogramo tem lados opostos de mesmo tamanho, então só precisamos obter os módulos A B →   = ( 3 ,   - 1 ,   6 ) e A C → = ( 1,1 , - 4 ) e o ângulo entre eles para ter uma ideia de como vai ser o desenho. Assim, temos
  2. | A B → | = 9 + 1 + 36 = 46  

    | A C → | = 1 + 1 + 16 = 18  

    A B → ⋅ A C → = ( 3 , - 1,6 ) ⋅ ( 1,1 , - 4 ) = 3 - 1 - 24 = - 22

    Substituindo esses dados na fórmula do ângulo, obtemos

    c o s   θ = A B → ⋅ A C → | A B → | | A C → | = - 22 18 46 = - 11 9 23 = - 11 3 23 = - 22 4,24 ⋅ 6,78 = - 22 28,76 = - 0,765

    ⇒ θ = a r c c o s ( - 0,765 ) ≈ 140 °

    Embora a resposta do livro seja diferente, vamos ver no item c) que essa é a resposta certa. O desenho fica mais ou menos assim:

    Passo 2

  3. Vamos começar descobrindo quais as duas diagonais do paralelogramo. Precisamos de B C →   e A D →   e seus respectivos módulos. Então, vamos lá:
  4. B C →   =   B A →   +   A C →   =   ( - 3,1 , - 6 )   +   ( 1,1 , - 4 )   =   ( - 2,2 , - 10 )

    | B C → |   =   4   +   4 + 100     =   108

    e

    A D →     =   A B →   +     B D →   =   A B →   +   A C →   =   ( 3 , - 1,6 )   + ( 1,1 , - 4 )   =   ( 4,0 , 2 )

    | A D → |   =   16   + 0 + 4     =   20

    Agora sabemos que a maior diagonal é B C → e o maior lado é A B → . Daí, o ângulo será:

    c o s   α = B A → ⋅ B C → | B A → | | B C → |   =   - ( 3 ,   - 1 ,   6 ) ⋅ ( - 2,2 , - 10 ) 46 108   = -   - 6 - 2 - 60 2 ⋅ 23 2 ⋅ 6 ⋅ 9   =   34 3 6 ⋅ 23   = 34 3 138   ≈   0,97

    ⇒   α =   14 ° .

    Passo 3

  5. Vamos calcular o ângulo entre B D → e D C → que será dado por

c o s   β = D B → ⋅ D C → | B D → | | D C → |   ,

onde

D B →   =   -   A C →   =   -   ( 1,1 , - 4 )   =   ( - 1 - 1,4 )     ⇒   | D B → |   =   18

D C →   =   - A B →   =   - ( 3 ,   - 1 ,   6 )   =   ( - 3,1 , - 6 )   ⇒   | D C → |   =   46

e

D B → ⋅ D C →   = ( - 1 - 1,4 ) ⋅   ( - 3,1 , - 6 )     =   3   - 1   - 24   =   - 22

Daí, temos

c o s   θ = D B → ⋅ D C → | B D → | | D C → |   =   - 22 18 46   =   - 22 2 ⋅ 9 2 ⋅ 23   =   - 22 2 ⋅ 3 23   =   - 11 3 23   ≈ - 0,764

⇒     θ ≈   140 °

Para o outro ângulo, temos

B A → ⋅ B D → = ( - 3,1 , - 6 ) ⋅ ( 1,1 , - 4 ) = - 3 + 1 + 24 = 22

c o s   β = B A → ⋅ B D → | B A → | | B D → |   =   22 46 18   =   22 2 ⋅ 23 2 ⋅ 9   =   22 2 ⋅ 3 23   = 11 3 23   ≈ 0,764

β ≈ 40 °

Então, o maior ângulo tem cosseno c o s   θ = - 11 3 23 . Sabemos que esse valor está certo porque a soma dos ângulos internos de um paralelogramo deve dar 360 ° :

2 θ + 2 β = 280 ° + 80 ° = 360 °

Resposta

  1. ∠ A   ≈   140 ° ,   | A B → | = 46 ,   | A C → |   =   18 ;
  2. c o s α   =   34 3 138 ;
  3. c o s   θ   =   - 11 3 23