Os vetores a →   e b → formam um ângulo de 60 ° ; calcule o ângulo entre os vetores u → e v → , sabendo que u →   =   a →   -   2 b → , v →   =   a →   +   b → , | a | → =   6 e | b |   → =   2 . Faça um desenho.

Passo 1

Pessoal, para calcular o ângulo entre os vetores u → e v → , precisamos da fórmula

c o s   θ = u → ⋅ v → | u → | | v → |

Assim, temos que determinar | u → | , | v | → e u → ⋅ v → :

| u → | 2 = u → ⋅ u →   = (   a → - 2 b → ) ⋅ (   a → - 2 b → ) = a → ⋅ a →   - 4 a → ⋅ b → + 4 b → ⋅ b → = | a → | 2 - 4 a → ⋅ b → + 4 | b → | 2

| v → | 2 = v → ⋅ v →   = (   a → + b → ) ⋅ (   a → + b → ) = a → ⋅ a →   + 2 a → ⋅ b → + b → ⋅ b → = | a → | 2 + 2 a → ⋅ b → + | b → | 2

u → ⋅ v → = (   a → - 2 b → ) ⋅ (   a → + b → ) = a → ⋅ a →   - a → ⋅ b → - 2 b → ⋅ b → = | a → | 2 - a → ⋅ b → - 2 | b → | 2

Passo 2

O enunciado já nos deu | a | → =   6 e | b |   → =   2 , só precisamos obter a → ⋅ b → a partir desses módulos e do fato que os vetores a →   e b → formam um ângulo de 60 ° :

1 2 = c o s   60 ° = a → ⋅ b → | a → | | b → | ⇒ a → ⋅ b → = | a → | | b → | 2 = 6 ⋅ 2 2 = 6

Assim, usando | a | → =   6 e | b |   → =   2 juntamente com a → ⋅ b → = 6 , ficamos com

| u → | 2 = | a → | 2 - 4 a → ⋅ b → + 4 | b → | 2 = 36 - 4 ⋅ 6 + 4 ⋅ 4 = 28 ⇒ | u → | = 28

| v → | 2 = | a → | 2 + 2 a → ⋅ b → + | b → | 2 = 36 + 2 ⋅ 6 + 4 = 52 ⇒ | v → | = 52

u → ⋅ v → = | a → | 2 - a → ⋅ b → - 2 | b → | 2 = 36 - 6 - 2 ⋅ 4 = 22

Agora só precisamos substituir os resultados acima em

c o s   θ = u → ⋅ v → | u → | | v → | = 22 28 52 = 22 4 7 13 = 11 2 91 = 11 91 182

Resposta

11 91 182