Os vetores b → e c → formam um ângulo de 30 ° e a → é ortogonal a ambos. Sendo | a → | = 1 , | b → | = 2 e | c → | = 3 , calcule [ a → , b → , c → ] .

Passo 1

Fala, galera! Para calcular [ a → , b → , c → ] vamos usar a propriedade cíclica do produto misto: [ a → , b → , c → ] = [ b → , c → , a → ] = ( b → ∧ c → ) ⋅ a → . Isso vai facilitar bastante a nossa vida porque sabemos o ângulo b → e c → e o ângulo de a → com os outros vetores. Agora, temos que lembrar que o produto escalar pode ser dado por

( b → ∧ c → ) ⋅ a → = | b → ∧ c → | | a → | c o s θ

onde θ é o ângulo entre a → e b → ∧ c → . Como tanto a → quanto b → ∧ c → são ortogonais a b → e c → , então o ângulo entre eles deve ser 0 ou 180 ° . Então, c o s θ = ± 1 .

Passo 2

Além disso, lembrando que b → e c → formam um ângulo de 30 ° e | b → | = 2 e | c → | = 3 , podemos calcular

| b → ∧ c → | = | b → | | c → | s e n   30 ° = 2 ⋅ 3 ⋅ 1 2 = 3

Voltando ao produto misto e usando | a → | = 1 e c o s θ = ± 1 , obtemos

[ a → , b → , c → ] = | b → ∧ c → | | a → | c o s θ = 3 ⋅ 1 ⋅ ( ± 1 ) = ± 3

Resposta

[ a → , b → , c → ] = ± 3