Os vetores x → ,   y → e z → formam uma base B de V e são dados: u → = x → + y → + z → , v → = x → - z → e w → = y → + z → .

  1. Mostre que C = ( u → , v → , w → ) é uma base de V .
  2. Escreva as coordenadas de a → = x → + y → - z → na base C .
  3. Escreva as coordenadas de b → = 3 u → + v → na base B .

Passo 1

  1. Fala, pessoal! Mais uma questão nos mesmos moldes, então só precisamos reaplicar os raciocínios das questões anteriores. Nesse item, começamos escrevendo os vetores u → , v → , w → na base B
  2. u → = x → + y → + z → = ( 1,1 , 1 ) B ,

    v → = x → - z → = ( 1,0 , - 1 ) B e

    w → = y → + z → = ( 0,1 , 1 ) B

    e então calculamos o determinante

    ⎜   1                 1                     1   ⎜

    ⎜   1                 0       - 1   ⎜ = 1 ⋅ ( 0 + 1 ) - 1 ⋅ ( 1 - 0 ) + 1 ⋅ ( 1 - 0 ) = 1 ≠ 0

    ⎜   0                 1                     1   ⎜

    Como o determinante é não nulo, segue que os vetores são l.i. e temos uma base de V .

    Passo 2

  3. Para escrever as coordenadas de a → = x → + y → - z → na base C , precisamos fazer a seguinte combinação linear
  4. a → = a u → + b v → + c w → = a ( x → + y → + z → ) + b ( x → - z → ) + c ( y → + z → )

    a → = ( a + b ) x → + ( a + c ) y → + ( a - b + c ) z →

    Por outro lado, esse vetor é dado por a → = x → + y → - z → . Então, comparando essas duas expressões

    a → = x → + y → - z → = ( a + b ) x → + ( a + c ) y → + ( a - b + c ) z →

    obtemos

    a + b = a + c = 1 ⇒ b = c

    a - b + c = - 1 ⇒ a - b + b = - 1 ⇒ a = - 1

    Agora, substituímos a = - 1 em:

    a + b = 1 ⇒ - 1 + b = 1 ⇒ b = 2 ⇒ c = 2

    Então, temos

    a → = a u → + b v → + c w → = - u → + 2 v → + 2 w → = ( - 1,2 , 2 ) C

    Passo 3

  5. Para escrever b → = 3 u → + v → na base B , só precisamos substituir u → = x → + y → + z → , v → = x → - z → :

b → = 3 u → + v → = 3 ( x → + y → + z → ) + x → - z → = 4 x → + 3 y → + 2 z → = ( 4,3 , 2 ) B

Resposta

b) a → = ( - 1,2 , 2 ) C

c) b → = ( 4,3 , 2 ) B