Enunciado

28. Os vetores u = 1 , 3 e v = - 1 , 3 indicados na figura dada têm norma 2 e o ângulo de 60° entre eles em relação ao produto interno euclidiano. Encontre um produto interno euclidiano ponderado em relação ao qual u e v sejam vetores unitários ortogonais.

Passo 1

O produto euclidiano que ele fala no início do enunciado é o que fazemos quase sempre:

u , v = u 1 v 1 + u 2 v 2

Maaaaas ele quer um produto interno euclidiano ponderado...

u , v = a u 1 v 1 + b u 2 v 2

Passo 2

Para ser ortogona, o produto interno tem que ser zero:

u , v = 0

a u 1 v 1 + b u 2 v 2 = 0

E para ser initário, a norma tem que ser igual a um: (lembrando que a norma é o produto interno do vetor por ele mesmo)

u = 1

u , u = 1

a u 1 2 + b u 2 2 = 1

Ps: não precisamos usar a norma dos dois vetores porque vai dar a mesma coisa.

Passo 3

Vamos substituir os valores e resolver o sisteminha que vai dar:

a 1 3 + b - 1 3 = 0

3 a - 3 b = 0

a = b

a 1 2 + b 3 2 = 1

a + 3 b = 1

b + 3 b = 1

4 b = 1

b = 1 4 = a

Então o produto interno euclidiano ponderado vai ser:

u , v = 1 4 u 1 v 1 + 1 4 u 2 v 2

Resposta

u , v = 1 4 u 1 v 1 + 1 4 u 2 v 2

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