Os vetores u → ,   v → e w → são dois ortogonais e seus módulos são respectivamente 2 ,   2 e 3 . Determine o módulo de a →   =   u → + v →   + w → e o ângulo que a → forma com w → .

Passo 1

Tudo bem, pessoal? Então bora partir para mais uma questão!

Para calcular o módulo de a →   =   u → + v → + w → , temos que lembrar que

| a →   | 2 = a →   ⋅ a →   = (   u → + v →   + w → ) ⋅ (   u → + v →   + w → ) =

| a →   | 2 = u → ⋅ (   u → + v →   + w → ) + v →   ⋅ (   u → + v →   + w → ) + w → ⋅ (   u → + v →   + w → )

| a →   | 2 = u → ⋅   u → + u → ⋅ v →   + u → ⋅ w → + v →   ⋅   u → + v →   ⋅ v →   + v →   ⋅ w → + w → ⋅   u → + w → ⋅ v →   + w → ⋅ w →

| a →   | 2 = | u → | 2 + 2 u → ⋅ v →   + 2 u → ⋅ w → + | v →   | 2   + 2 v →   ⋅ w → + | w → | 2

Mas como u → ,   v → e w → são dois a dois ortogonais e seus módulos são respectivamente 2 ,   2 e 3 , temos o seguinte valor para o módulo

| a →   | 2 = | u → | 2 + | v →   | 2 + | w → | 2 = 4 + 2 + 3 = 9 ⇒ | a →   | = 3

Passo 2

O cosseno do ângulo que a → forma com w → é dado por

c o s   θ = a → ⋅ w → | a → | | w → | .

Mas, | a →   | = 3 , | w →   | = 3 e

a → ⋅ w → = (   u → + v →   + w → ) ⋅ w → =   u → ⋅ w → + v → ⋅ w → + w → ⋅ w → = | w → | 2 = 3

Resposta

| a →   | = 3 ; a → ⋅ w → = 3