Os vetores A B →   = ( 1,3 , 1 ) , A C →   = ( 2,0 , - 2 ) e A D →   = ( - 3,2 , - 3 ) são ortogonais dois a dois. Calcule [ A B → , A C → ,   A D → ] e | A B → | ⋅ | A C | →   ⋅ | A D | → . Compare os resultados e explique.

Passo 1

Bora lá, pessoal! Vamos começar lembrando que

[ A B → , A C → ,   A D → ] = ( A B → ∧ A C → ) ⋅ A D → = | A B → ∧ A C → | | A D → | c o s θ

Como o vetor A D → é ortogonal a A B → , A C → , então ele é paralelo a A B → ∧ A C → . Assim, c o s θ = 1 e

[ A B → , A C → ,   A D → ] = | A B → ∧ A C → | | A D → |

Agora, vamos obter

| A B → ∧ A C → | = | A B | → | A C → | s e n   90 ° = | A B | → | A C → |

onde usamos o ângulo igual a   90 ° porque os vetores são ortogonais entre si. Assim, vemos que

[ A B → , A C → ,   A D → ] = | A B | → | A C → | | A D → |

Passo 2

Para interpretar o resultado do passo anterior, podemos imaginar que temos um paralelepípedo determinado pelos vetores A B → , A C → e A D → . O volume desse paralelepípedo é dado pelo produto misto dos três vetores ou pela multiplicação de | A B | → , | A C → | , | A D → | que são os tamanhos de cada lado do paralelepípedo. Mas essa relação só é válida para esse caso específico porque todos os ângulos do paralelepípedo são retos. Então, vamos calcular os módulos

| A B | → = 1 + 9 + 1 = 11

| A C → | = 4 + 0 + 4 = 8

| A D → | = 9 + 4 + 9 = 22

Assim, o volume do paralelepípedo é dado

[ A B → , A C → ,   A D → ] = | A B | → | A C → | | A D → | = 11 ⋅ 8 ⋅ 22 = 1 1 2 ⋅ 16 = 44

Resposta

[ A B → , A C → ,   A D → ] = | A B | → | A C → | | A D → | = 44 é o volume de um paralelepípedo reto-retângulo.