No videogame da figura, os aviões voam da esquerda para a direita segundo a trajetória , e podem disparar suas balas na direção da tangente contra as pessoas ao longo do eixo -x em . Determine se alguém será atingido se o avião disparar um projétil quando estiver em
Passo 1
Segundo a Definição (3.1), o coeficiente angular da tangente ao gráfico de uma função em é
Desde que o limite exista.
Se o limite na Definição (3.1) não existe, então o coeficiente angular da tangente em não é definido.
Esta é a definição formal da derivada da função no ponto . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em .
Passo 2
Compreendendo a Definição (3.1), vamos resolver a questão.
- Iremos substituir e na equação.
- A equação da reta tangente a curva, no ponto Q é dada por,
Observe que se substituirmos o valor de na equação, o denominador será igual a zero, logo temos o caso de um limite contendo indeterminação. Para resolver este limite, contornando a indeterminação, vamos simplificar o numerador,
Eliminando os termos iguais,
Simplificando a equação,
Para finalizar a letra (a), vamos substituir o valor de na equação.
Para encontrar a equação tangente no ponto , vamos substituir na equação
Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto e coeficiente angular igual a .
Substituindo os valores, temos que,
Por outro lado, fazendo , temos,
Portanto, o projétil atinge a pessoa que está na posição 3, como ilustra a própria figura.
Passo 3
Sendo,
Temos que,
Por outro lado, fazendo , temos,
Portanto, o projétil não atinge nenhuma pessoa.
Resposta
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