No videogame da figura, os aviões voam da esquerda para a direita segundo a trajetória y = 1 + ( 1 / x ) , e podem disparar suas balas na direção da tangente contra as pessoas ao longo do eixo -x em x = 1,2 , 3,4   e   5 . Determine se alguém será atingido se o avião disparar um projétil quando estiver em

  1. P 1,2
  2. Q 3 2 , 5 3

Passo 1

Segundo a Definição (3.1), o coeficiente angular m a da tangente ao gráfico de uma função f em P ( a , f a ) é

m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

Desde que o limite exista.

Se o limite na Definição (3.1) não existe, então o coeficiente angular da tangente em P ( a , f a ) não é definido.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.1), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir x = a e f x = 1 + 1 x na equação.
  2. m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

    = lim h  → 0 ⁡ 1 + 1 a + h - 1 + 1 a h

    = lim h  → 0 ⁡ a + h + 1 a + h - ( a + 1 ) a h

    Observe que se substituirmos o valor de h na equação, o denominador será igual a zero, logo temos o caso de um limite contendo indeterminação. Para resolver este limite, contornando a indeterminação, vamos simplificar o numerador,

    = lim h  → 0 ⁡ a ( a + h + 1 ) - ( a + 1 ) ( a + h ) a ( a + h ) × 1 h

    = lim h  → 0 ⁡ a 2 + a h + a - ( a 2 + a h + a + h ) a h ( a + h )

    Eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ - h a h ( a + h )

    Simplificando a equação,

    = lim h  → 0 ⁡ - 1 a ( a + h )

    Para finalizar a letra (a), vamos substituir o valor de h na equação.

    m a = lim h  → 0 ⁡ - 1 a a + h = - 1 a ( a + 0 ) = - 1 a 2 + ( a × 0 ) = - 1 a 2 + 0

    m a = - 1 a 2

    Para encontrar a equação tangente no ponto P 1 , 2 , vamos substituir a = 1 na equação

    m a = - 1 a 2 = - 1 1 2

    m a = - 1

    Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto P 1,2 e coeficiente angular igual a m a = - 1 .

    y - y 0 = m a ( x - x 0 )

    Substituindo os valores, temos que,

    y - 2 = - 1 ( x - 1 )

    y - 2 = - x + 1

    y = - x + 1 + 2

    y = - x + 3

    Por outro lado, fazendo y = 0 , temos,

    0 = - x + 3

    x = 3

    Portanto, o projétil atinge a pessoa que está na posição 3, como ilustra a própria figura.

    Passo 3

  3. A equação da reta tangente a curva, no ponto Q é dada por,

y - y 0 = m a ( x - x 0 )

Sendo,

m a = - 1 a 2 = - 1 3 2 2 = - 1 × 4 9 = - 4 9

Temos que,

y - 5 3 = - 4 9 ( x - 3 2 )

y - 5 3 = - 4 x 9 + 12 18

y = - 4 x 9 + 4 6 + 5 3

y = - 4 x 9 + 12 + 30 1 8

y = - 4 x 9 + 42 18

y = - 4 x 9 + 7 3

Por outro lado, fazendo y = 0 , temos,

0 = - 4 x 9 + 7 3

4 x 9 = 7 3

x = 63 12

x ≅ 5,25

Portanto, o projétil não atinge nenhuma pessoa.

Resposta

a   O   p r o j é t i l   a t i n g i r á   a   p e s s o a   n a   p o s i ç ã o   3 .

b   O   p r o j é t i l   n ã o   a t i n g e   n e n h u m a   p e s s o a .