f (x) = 4 x - 1 , L = 11 , a = 3 , epsilon = 0,01 , underset(x -> 3)(lim) ( 4 x - 1 ) = 11

Passo 1

Fala, galerinhaaa!

Nessa ele pede pra gente determinar um delta > 0 tal que |f (x) - L| < epsilon sempre que 0 < |x - a| < delta , dado um valor de epsilon .

QUE?!

Vamos lá... sei que você consegue.

Aqui ele quer usar o limite por definição formal.

Vamos substituir o que já nos foi dado:

|f (x) - L| < epsilon -> |4 x - 1 - 11| < 0,01 ( I )

0 < |x - a| < delta -> 0 < |x - 3| < delta ( I I )

Passo 2

Em ( I ) , temos:

|4 x - 1 - 11| = |4 x - 12| = |4 (x - 3)| = 4 |x - 3|

E em ( I I ) temos algo, digamos... familiar. Olha aqui:

0 < |x - 3| < delta

A gente tá procurando um valor positivo para delta onde

4 |x - 3| < 0,01

Reescrevendo...

|x - 3| < (0,01)/(4)

Seja válido sempre que 0 < |x - 3| < delta

Passo 3

Com essas informações, podemos definir, para nosso caso:

delta = (epsilon)/(4) = (0,01)/(4) = 0,0025

Assim, garantimos que |4 x - 1 - 11| < 0,01 sempre que 0 < |x - 3| < delta .

Uma coisa a ser levada em consideração é que podemos adotar outros valores para delta . Esse foi apenas o mais fácil de enxergar.

Resposta

delta = (epsilon)/(4) = (0,01)/(4) = 0,0025