5 - x' = x(1 - 0,5x - 0,5y), y' = y(-0,25 + 0,5x); x(0) = 4, y(0) = 1

Passo 1

O erro no método de Euler e no método de Runge-Kutta é diferente. Basicamente, o erro no método Euler é superior ao método Runge-Kutta de ordem superior. Como no método de ordem superior, o erro de truncamento é menor.

Passo 2

O problema do valor inicial em uma notação vetorial pode ser escrito como,

d d t x y = x - 0,5 x 2 - 0,5 x y - 0,25 y + 0,5 x y , x 0 = 4 1

  1. A fórmula de Euler é,
  2. x n + 1 y n + 1 = x n y n + h x n ( 1 - 0,5 x n - 0,5 y n ) y n ( - 0,25 + 0,5 x n )

    Isso é,

    x n + 1 = x n + h x n 1 - 0,5 x n - 0,5 y n

    y n + 1   = y n + h [ y n ( - 0,25 + 0,5 x n ) ]

    Com h = 0,1 obter valores são os seguintes:

    Passo 3

  3. Foi fornecido que temos:

    f t , x , y = x ( 1 - 0,5 x - 0,5 y )

    g t , x , y = y ( - 0,25 + 0,5 x )

    O método Runge-Kutta inclui os seguintes cálculos:

    k n 1 = f t n , x n , y n , g t n , x n , y n T

    k n 2 = f t n + h 2 , x n + h 2 k n 1 1 , y n + h 2 k n 1 2 , g t n + h 2 , x n + h 2 k n 1 1 , y n + h 2 k n 1 2 T

    k n 3 = f t n + h 2 , x n + h 2 k n 2 1 , y n + h 2 k n 2 2 , g t n + h 2 , x n + h 2 k n 2 1 , y n + h 2 k n 2 2 T

    k n 4 = f t n + g , x n + h k n 3 1 , y n + h k n 3 2 , g t n + h , x n + h k n 3 1 , y n + h k n 3 2 T

    Com h = 0,2 , os valores obtidos são os seguintes:

    Passo 4

Com  h = 0,1 , os valores obtidos são os seguintes:

Resposta

a)

b)

c)

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