Enunciado

5 - x^' = x ( 1 - 0,5 x - 0,5 y ) , y^' = y ( - 0,25 + 0,5 x ) ; x ( 0 ) = 4 , y ( 0 ) = 1

Passo 1

O erro no método de Euler e no método de Runge-Kutta é diferente. Basicamente, o erro no método Euler é superior ao método Runge-Kutta de ordem superior. Como no método de ordem superior, o erro de truncamento é menor.

Passo 2

O problema do valor inicial em uma notação vetorial pode ser escrito como,

(d)/(d t) ([[x],[y]]) = ([[x,-,0,5,x^2,-,0,5,x,y],[-,0,25,y,+,0,5,x,y]]) , x (0) = ([[4],[1]])

  1. A fórmula de Euler é,
  2. ([[x_n + 1],[y_n + 1]]) = ([[x_n],[y_n]]) + h ([[x_n,(,1,-,0,5,x_n,-,0,5,y_n,)],[y_n,(,-,0,25,+,0,5,x_n,)]])

    Isso é,

    x_n + 1 = x_n + h [x_n (1 - 0,5 x_n - 0,5 y_n)]

    y_n + 1 = y_n + h [ y_n ( - 0,25 + 0,5 x_n ) ]

    Com h = 0,1 obter valores são os seguintes:

    Passo 3

  3. Foi fornecido que temos:

    f (t , x , y) = x ( 1 - 0,5 x - 0,5 y )

    g (t , x , y) = y ( - 0,25 + 0,5 x )

    O método Runge-Kutta inclui os seguintes cálculos:

    k_n 1 = [f (t_n , x_n , y_n) , g (t_n , x_n , y_n)]^T

    k_n 2 = [f (t_n + (h)/(2) , x_n + (h)/(2) k_(n 1)^1 , y_n + (h)/(2) k_(n 1)^2) , g (t_n + (h)/(2) , x_n + (h)/(2) k_(n 1)^1 , y_n + (h)/(2) k_(n 1)^2)]^T

    k_n 3 = [f (t_n + (h)/(2) , x_n + (h)/(2) k_(n 2)^1 , y_n + (h)/(2) k_(n 2)^2) , g (t_n + (h)/(2) , x_n + (h)/(2) k_(n 2)^1 , y_n + (h)/(2) k_(n 2)^2)]^T

    k_n 4 = [f (t_n + g , x_n + h k_(n 3)^1 , y_n + h k_(n 3)^2) , g (t_n + h , x_n + h k_(n 3)^1 , y_n + h k_(n 3)^2)]^T

    Com h = 0,2 , os valores obtidos são os seguintes:

    Passo 4

Com  h = 0,1 , os valores obtidos são os seguintes:

Resposta

a)

b)

c)

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