Enunciado

12. Use os pontos P 1   e   P 2 do exercício 10 e ache o ponto R , tal que V P 1 R → = - 2 V ( P 2 R → ) .

Passo 1

Primeiramente construímos os vetores V = ( P 1 R → ) e V ( P 2 R → ) , assumindo o ponto R na forma   R = ( x , y , z ) , de forma que:

V   P 1 R → =   R - P 1 ⇒ ( x ,   y ,   z )   - 1 ,   3 ,   5 ⇒ ( x - 1 ,   y - 3 ,   z - 5 )

V P 2 R → = R - P 2 =   x ,   y ,   z - ( 2 ,   - 1 ,   4 ) ⇒ ( x - 2 ,   y + 1 ,   z - 4 )

Para montar o - 2 V ( P 2 R → ) basta multiplicar o resultado encontrado para V P 2 R → por - 2 , ficando:

- 2 V P 2 R → = - 2 . ( x - 2 ,   y + 1 ,   z - 4 ) ⇒ ( - 2 . ( x - 2 ) ,   - 2 . ( y + 1 ) ,   - 2 . ( z - 4 ) )

- 2 V P 2 R → = ( - 2 x + 4 ,   - 2 y - 2 ,   - 2 z + 8 )

Passo 2

Em seguida retornamos à equação inicial e a reescrevemos com os resultados obtidos anteriormente ficando:

V P 1 R → = - 2 V P 2 R → ⇒ x - 1 ,   y - 3 ,   z - 5 = ( - 2 x + 4 ,   - 2 y - 2 ,   - 2 z + 8 )

Como cada coordenada do primeiro vetor deve se relacionar a mesma coordenada do segundo vetor, temos:

I   x - 1 = - 2 x + 4

I I   y - 3 = - 2 y - 2

I I I   z - 5 = - 2 z + 8

Passo 3

Resolvendo as três equações de 1° grau, obtemos:

I   x - 1 = - 2 x + 4 ⇒ x + 2 x = 4 + 1 ⇒ 3 x = 5 ⇒ x = 5 3

I I   y - 3 = - 2 y - 2 ⇒ y + 2 y = - 2 + 3 ⇒ 3 y = 1 ⇒ y = 1 3

I I I   z - 5 = - 2 z + 8 ⇒ z + 2 z = 8 + 5 ⇒ 3 z = 13 ⇒ z = 13 3

Resposta

R = 5 3 ,   1 3 , 13 3  

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