13. Dados P_1(3, 2, -4) e P_2(-5, 4, 2) , ache o ponto P3 , tal que 4V(P1, P2) = -3V(P2, P3) .

Passo 1

Primeiramente construímos os vetores V (vec P_1 P_2) e V ( vec P_2 P_3 ) . assumindo o ponto P_3 na forma P_3 ( x , y , z ) , de forma que:

V (vec P_1 P_2) = P_2 - P_1 = (- 5 , 4 , 2) - (3 , 2 , - 4) => (- 5 - 3 , 4 - 2 , 2 + 4) => ( - 8 , 2 , 6 )

V (vec P_2 P_3) = P_3 - P_2 = (x , y , z) - (- 5 , 4 , 2) => (x + 5 , y - 4 , z - 2)

Para montar o 4 V (vec P_1 P_2) basta multiplicar o resultado encontrado para V (vec P_1 P_2) por 4, ficando:

4 V (vec P_1 P_2) = 4 . ( - 8 , 2 , 6 ) => ( 4 . - 8 , 4.2 , 4.6 )

4 V (vec P_1 P_2) = ( - 32 , 8 , 24 )

Para montar o - 3 V ( vec P_2 P_3 ) basta multiplicar o resultado encontrado para V ( vec P_2 P_3 ) por - 3 , ficando:

- 3 V (vec P_2 P_3) = - 3 . (x + 5 , y - 4 , z - 2) => (- 3 . (x + 5) , - 3 . (y - 4) , - 3 . ( z - 2 ))

- 3 V (vec P_2 P_3) = ( - 3 x - 15 , - 3 y + 12 , - 3 z + 6 )

Passo 2

Em seguida retornamos à equação inicial e a reescrevemos com os resultados obtidos anteriormente ficando:

4 V (vec P_1 P_2) = - 3 V ( vec P_2 P_3 ) => ( - 32 , 8 , 24 ) = ( - 3 x - 15 , - 3 y + 12 , - 3 z + 6 )

Como cada coordenada do primeiro vetor deve se relacionar a mesma coordenada do segundo vetor, temos:

(I) - 3 x - 15 = - 32

(I I) - 3 y + 12 = 8

(I I I) - 3 z + 6 = 24

Passo 3

Resolvendo as três equações de 1° grau, obtemos:

(I) - 3 x - 15 = - 32 => - 3 x = - 32 + 15 => - 3 x = - 17 => x = (17)/(3)

(I I) - 3 y + 12 = 8 => - 3 y = 8 - 12 => - 3 y = - 4 => y = (4)/(3)

(I I I) - 3 z + 6 = 24 => - 3 z = 18 => z = - (18)/(3) => z = - 6

Resposta

P_3 = ((17)/(3) , (4)/(3) , - 6)