Enunciado

13. Dados P 1 ( 3 ,   2 ,   - 4 )   e   P 2 ( - 5 ,   4 ,   2 ) , ache o ponto P 3 , tal que 4 V P 1 P 2 → = - 3 V ( P 2 P 3 → ) .

Passo 1

Primeiramente construímos os vetores V P 1 P 2 → e V ( P 2 P 3 → ) . assumindo o ponto P 3 na forma   P 3 ( x , y , z ) , de forma que:

V P 1 P 2 → = P 2 - P 1 = - 5 ,   4 ,   2 - 3 ,   2 ,   - 4 ⇒ - 5 - 3 ,   4 - 2 ,   2 + 4 ⇒ ( - 8 ,   2 ,   6 )

V P 2 P 3 → = P 3 - P 2 = x ,   y ,   z - - 5 ,   4 ,   2 ⇒ x + 5 ,   y - 4 ,   z - 2

Para montar o 4 V P 1 P 2 → basta multiplicar o resultado encontrado para V P 1 P 2 → por 4, ficando:

4 V P 1 P 2 →   = 4 . ( - 8 ,   2 ,   6 ) ⇒ ( 4 . - 8 ,   4.2 ,   4.6 )

4 V P 1 P 2 →   = ( - 32 ,   8 ,   24 )

Para montar o - 3 V ( P 2 P 3 → ) basta multiplicar o resultado encontrado para V ( P 2 P 3 → ) por - 3 , ficando:

- 3 V P 2 P 3 → = - 3 . x + 5 ,   y - 4 ,   z - 2 ⇒ - 3 . x + 5 ,   - 3 . y - 4 ,   - 3 . ( z - 2 )

- 3 V P 2 P 3 → = ( - 3 x - 15 ,   - 3 y + 12 ,   - 3 z + 6 )

Passo 2

Em seguida retornamos à equação inicial e a reescrevemos com os resultados obtidos anteriormente ficando:

4 V P 1 P 2 → = - 3 V ( P 2 P 3 → ) ⇒ ( - 32 ,   8 ,   24 ) = ( - 3 x - 15 ,   - 3 y + 12 ,   - 3 z + 6 )

Como cada coordenada do primeiro vetor deve se relacionar a mesma coordenada do segundo vetor, temos:

I   - 3 x - 15 = - 32

I I   - 3 y + 12 = 8

I I I   - 3 z + 6 = 24

Passo 3

Resolvendo as três equações de 1° grau, obtemos:

I   - 3 x - 15 = - 32 ⇒ - 3 x = - 32 + 15 ⇒ - 3 x = - 17 ⇒ x = 17 3

I I   - 3 y + 12 = 8 ⇒ - 3 y = 8 - 12 ⇒ - 3 y = - 4 ⇒ y = 4 3

I I I   - 3 z + 6 = 24 ⇒ - 3 z = 18 ⇒ z = - 18 3 ⇒ z = - 6

Resposta

P 3 = 17 3 ,   4 3 ,   - 6

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