Enunciado

14. Dados P 1 ( 7 ,   0 ,   - 2 )   e   P 2 ( 2 ,   - 3 ,   5 ) , ache o ponto P 3 , tal que V P 1 P 3 → = 5 V ( P 2 P 3 → ) .

Passo 1

Eai tranquilo??... para essa questão inicialmente construímos os vetores V P 1 P 3 → e V ( P 2 P 3 → ) . assumindo o ponto P 3 na forma   P 3 ( x , y , z ) , de forma que:

V P 1 P 3 → = P 3 - P 1 = x ,   y ,   z - 7 ,   0 ,   - 2 ⇒ x - 7 ,   y ,   z + 2

V P 2 P 3 → = P 3 - P 2 = x ,   y ,   z - 2 ,   - 3 ,   5 ⇒ x - 2 ,   y + 3 ,   z - 5

Para montar o 5 V ( P 2 P 3 → ) basta multiplicar o resultado encontrado para V ( P 2 P 3 → ) por 5 , ficando:

5 V P 2 P 3 → = 5 . x - 2 ,   y + 3 ,   z - 5 ⇒ 5 . ( x - 2 ) ,   5 . ( y + 3 ) ,   5 . ( z - 5 )

5 V P 2 P 3 → = ( 5 x - 10 ,   5 y + 15 ,   5 z - 25 )

Passo 2

Em seguida retornamos à equação inicial e a reescrevemos com os resultados obtidos anteriormente ficando:

V P 1 P 3 → = 5 V P 2 P 3 → ⇒ x - 7 ,   y ,   z + 2 = ( 5 x - 10 ,   5 y + 15 ,   5 z - 25 )

Como cada coordenada do primeiro vetor deve se relacionar a mesma coordenada do segundo vetor, temos:

I   x - 7 = 5 x - 10

I I   y =   5 y + 15

I I I   z + 2 = 5 z - 25

Passo 3

Resolvendo as três equações de 1° grau, obtemos:

I   x - 7 = 5 x - 10 ⇒ x - 5 x = - 10 + 7 ⇒ - 4 x = - 3 ⇒ x = 3 4

I I   y =   5 y + 15 ⇒ y - 5 y = 15 ⇒ - 4 y = 15 ⇒ y = - 15 4

I I I   z + 2 = 5   z - 25 ⇒ z - 5 z = - 25 - 2 ⇒ - 4 z = - 27 ⇒ z = 27 4

E é só fechamos essa, vamos pra próxima??!!

Resposta

P 3 = 3 4 , - 15 4 , 27 4

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