14. Dados P1(7, 0, -2) e P2(2, -3, 5) , ache o ponto P3 , tal que V(P_1, P_3) = 5 * V(P_2, P_3) .

Passo 1

Eai tranquilo??... para essa questão inicialmente construímos os vetores V (vec P_1 P_3) e V ( vec P_2 P_3 ) . assumindo o ponto P_3 na forma P_3 ( x , y , z ) , de forma que:

V (vec P_1 P_3) = P_3 - P_1 = (x , y , z) - (7 , 0 , - 2) => (x - 7 , y , z + 2)

V (vec P_2 P_3) = P_3 - P_2 = (x , y , z) - (2 , - 3 , 5) => (x - 2 , y + 3 , z - 5)

Para montar o 5 V ( vec P_2 P_3 ) basta multiplicar o resultado encontrado para V ( vec P_2 P_3 ) por 5 , ficando:

5 V (vec P_2 P_3) = 5 . (x - 2 , y + 3 , z - 5) => (5 . ( x - 2 ) , 5 . ( y + 3 ) , 5 . ( z - 5 ))

5 V (vec P_2 P_3) = ( 5 x - 10 , 5 y + 15 , 5 z - 25 )

Passo 2

Em seguida retornamos à equação inicial e a reescrevemos com os resultados obtidos anteriormente ficando:

V (vec P_1 P_3) = 5 V (vec P_2 P_3) => (x - 7 , y , z + 2) = ( 5 x - 10 , 5 y + 15 , 5 z - 25 )

Como cada coordenada do primeiro vetor deve se relacionar a mesma coordenada do segundo vetor, temos:

(I) x - 7 = 5 x - 10

(I I) y = 5 y + 15

(I I I) z + 2 = 5 z - 25

Passo 3

Resolvendo as três equações de 1° grau, obtemos:

(I) x - 7 = 5 x - 10 => x - 5 x = - 10 + 7 => - 4 x = - 3 => x = (3)/(4)

(I I) y = 5 y + 15 => y - 5 y = 15 => - 4 y = 15 => y = - (15)/(4)

(I I I) z + 2 = 5 z - 25 => z - 5 z = - 25 - 2 => - 4 z = - 27 => z = (27)/(4)

E é só fechamos essa, vamos pra próxima??!!

Resposta

P_3 = ((3)/(4) , - (15)/(4) , (27)/(4))