Em 1980, a população de crocodilos nas terras do Centro

Espacial Kennedy foi estimada como sendo 1.500. Em

2006, havia crescido para um total estimado de 6.000.

Usando a lei malthusiana para crescimento da população,

estime a população de crocodilos nas terras do Centro

Espacial Kennedy em 2020.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja y(t) a população de jacarés no Centro Espacial Kennedy em qualquer instante t. Então a população é proporcional à velocidade com que a população cresce. Isso pode ser representado como uma equação diferencial abaixo

y ' ( t )   =   k y ( t )

onde k é a constante de proporcionalidade. em 1980, o número de jacarés era de 1500. Contando o tempo a partir de 1980, obtemos a condição inicial

y ( 0 )   =   1500

em 2006, que é 26 anos depois, a população foi estimada em 6.000. Isso dá como segunda condição inicial

y ( 26 )   =   6000

assim, o modelo matemático para o problema é

y ' ( t 0   =   k y ( t ) ,   y ( 0 )   =   1500 ,   y ( 26 )   =   6000

Passo 2

Essa é uma EDO separável. Organizando os termos,

d y d t   =   k y   ⇒   d y y   =   k d t

integrando em ambos o lados

l n   | y |   =   k t   +   c

| y |   =   e k t   +   c   =   e k t e c

y   =   C e k t

onde C   : =   ± e c . Agora, nós podemos usar a primeira condição inicial para determinarmos o valor numérico da constante C.

1500   =   y ( 0 )   =   C e k 0   ⇒   1500   =   C e ⁰   ⇒   C   =   1500

Passo 3

Para determinar o valor numérico da constante de proporcionalidade k, utilizamos a segunda condição inicial e o resultado obtido. Substitua 26 por ttt e 6000 por y na equação acima.

6000   =   y ( 26 )   =   1500 e 26 k   ⇒   e 26 k   =   4   ⇒   k   =   l n   4 26

Portanto, a população de peixes no lago em qualquer momento t é

y   =   1500 e l n   4 26 t

Para estimar a população de peixes no lago em 2020 usando o modelo obtido, precisamos calcular o valor y(40)y(40)y(40), pois a observação inicial da população foi em 1980, que é de 40 anos antes de 2020.

Portanto, obtemos

y ( 40 )   =   1500 e l n   4 26 40   = 12657

Resposta

12657