Em 1980, a população de crocodilos nas terras do Centro
Espacial Kennedy foi estimada como sendo 1.500. Em
2006, havia crescido para um total estimado de 6.000.
Usando a lei malthusiana para crescimento da população,
estime a população de crocodilos nas terras do Centro
Espacial Kennedy em 2020.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Seja y(t) a população de jacarés no Centro Espacial Kennedy em qualquer instante t. Então a população é proporcional à velocidade com que a população cresce. Isso pode ser representado como uma equação diferencial abaixo
onde k é a constante de proporcionalidade. em 1980, o número de jacarés era de 1500. Contando o tempo a partir de 1980, obtemos a condição inicial
em 2006, que é 26 anos depois, a população foi estimada em 6.000. Isso dá como segunda condição inicial
assim, o modelo matemático para o problema é
Passo 2
Essa é uma EDO separável. Organizando os termos,
integrando em ambos o lados
onde . Agora, nós podemos usar a primeira condição inicial para determinarmos o valor numérico da constante C.
Passo 3
Para determinar o valor numérico da constante de proporcionalidade k, utilizamos a segunda condição inicial e o resultado obtido. Substitua 26 por ttt e 6000 por y na equação acima.
Portanto, a população de peixes no lago em qualquer momento t é
Para estimar a população de peixes no lago em 2020 usando o modelo obtido, precisamos calcular o valor y(40)y(40)y(40), pois a observação inicial da população foi em 1980, que é de 40 anos antes de 2020.
Portanto, obtemos
Resposta
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