Enunciado

25. Suponha que o sistema do Problema 24 é modificado para incluir amortecimento e que o problema de valor inicial resultante é

s ' ' + 1 5 s ' + 1 5 s 5 = cos ⁡ ω t ,           s 0 = 0 ,     s ' 0 = 0

(a) Gere, em um computador, o gráfico da solução do problema dado para diversos valores de ω entre   1 / 2   e 2 e estime a amplitude R da resposta estado estacionário em cada caso.

(b) Usando os dados encontrados em (a), faça o gráfico de R em função de ω . Para que frequência ω a amplitude é máxima?

(c) Compare os resultados dos itens (a) e (b) com os resultados correspondentes para a mola linear.

Passo 1

L e t r a   A :

Poxa vida, vamos trabalhar aqui com EDO não linear:

s ' ' + s + 1 5 s 3 = cos ⁡ ω t

Por causa desse s 3 , saca?

INFELIZMENTE, resolver uma equação não linear de forma algébrica, como fazemos sem grandes mistérios com as EDO’s lineares, é muito difícil (isso se não impossível). Como o problema já nos dá uma autorização explicita de que podemos usar o computador, a coisa facilita, né?

Aqui, eu vou utilizar o WOLFRAMALPHA para resolver essa EDO, por dois motivos: é um site gratuito pra muitas aplicações matemáticas e também por que ele é simples de mexer. Mas lembrando de que você pode usar qualquer meio computacional ;)

Passo 2

L e t r a   A :

Jogando WOLFRAMALPHA no Google e entrando na página, basta escrever a equação na barrinha de pesquisa delas do jeitinho que está aqui:

s ' ' + 1 5 s ' + 1 5 s 5 = cos ⁡ 1 / 2 t ,           s 0 = 0 ,     s ' 0 = 0

Usando as vírgulas para separar as condições! Perceba que já trocamos o ω por 1 / 2 , que é o primeiro valor que o problema nos pediu. Ao dar Enter, o site vai te dar a resposta em gráfico:

Trocando agora o ω por 3 / 4 ...

Por 1 agora...

Por ω = 5 / 4 agora...

CALMA JOVEM! Eu sei, é bem chato ficar fazendo isso, mas está acabando, vamos lá: substituindo ω agora po 6 / 4 ...

Por ω = 7 / 4 ...

Finalmente por ω = 2

Beleza! O problema nos pede para variar ω de 1 / 2 até 2 então acabamos essa parte do problema.

Passo 3

Para retirar a informação de R , basta a gente pagar a amplitude de cada figura. Mas atenção! Você tem que pegar esses valores da parte estacionária (Quando a função é uma senoidal bonitinha). Aqui montei uma tabelinha com os valores aproximados que eu encontrei:

Passo 4

L e t r a   B :

Desenhando um gráfico aqui com esses dados da tabelinha...

Bem, a frequência de ressonância é aquela que a amplitude é a maior possível. No nosso caso, o maior valor foi assumido em ω = 1,25 . Então podemos estimar que a frequência de ressonância ω 0 é aproximadamente...

ω 0 ≈ 1,25

Passo 5

L e t r a   C :

Comparando então esse nosso problema com um sistema linear massa mola, pela nossa teoria ganharíamos a seguinte curva...

Vimos que essa curva no capítulo tem a seguinte equação de R versus ω :

R = 5 25 - 49 ω 2 + 25 ω 4

Resposta

Letra A:

Letra B:

Letra C:

R = 5 25 - 49 ω 2 + 25 ω 4

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