Enunciado

32. Mostre que, dado qualquer valor real de x,

Passo 1

Oi oi, aluninho do Responde aí!

Para resolvermos essa questão, nós vamos relembrar o conceito de Séries Geométrica, nessa série cada termo é obtido multiplicando-se o termo precedente por alguma constante fixada. Assim, se o termo inicial da série for a e cada termo for obtido multiplicando-se o termo precedente por r , então a série terá a forma:

Passo 2

Olhando a série dada no comando percebemos que é uma série geométrica, será que é possível identificar o termo inicial a 0 e r que é a razão da série?

SIIIM, podemos considerar a 0 = s e n ( x ) e r = - 1 2   s e n ( x ) . A partir desses termos nós podemos fazer uma análise de convergência, isso porque no teorema das séries geométrica temos que:

  • se |r|
  • se |r| ≥ 1 → Série Divergente

Como - 1 2   s e n ( x ) < 1       →       s e n   x < 2 , então a série converge para todos os valores de x.

Passo 3

Sabendo que a série converge, utilizamos a propriedade de que a soma de séries é:

∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 - r

Logo, para qualquer valor de x, temos:

S = s e n ( x ) 1 - - 1 2   s e n ( x ) =   2   s e n ( x ) 2 + s e n ( x )

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