85. (a) Expresse ∫ tan 3 ⁡ θ d θ   em termos de ∫ tan ⁡ θ d θ . Depois calcule ∫ tan 3 ⁡ θ d θ . (dica: tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1 .)

(b) expresse ∫ tan 5 ⁡ θ d θ   em termos de ∫ tan 3 ⁡ θ d θ .

(c) expresse ∫ tan 7 ⁡ θ d θ em termos de ∫ tan 5 ⁡ θ d θ .

(d) expresse ∫ tan 2 k + 1 ⁡ θ d θ , onde k e um inteiro positivo, em termos de ∫ tan 2 k - 1 ⁡ θ d θ .

Passo 1

Falaaa... tudo benzinho??

Nessa questão vamos usar a dicona que ele deu:

tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

Pra modicar a integral e depois conseguir resolvê-la.

E vamos precisar lembrar da derivada de tangente:

tan ⁡ θ ' = sec 2 ⁡ θ

Também da derivada de cosseno:

cos ⁡ θ ' = - sen ⁡ θ

Vamos lá...

Passo 2

a) Repara que podemos reescrever:

tan 3 ⁡ θ = tan 2 ⁡ θ tan ⁡ θ

Usando a igualdade trigonométrica:

tan 3 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1 tan ⁡ θ

E substituindo na integral:

∫ tan 3 ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 tan ⁡ θ d θ

A primeira parte já foi... Agora falta calcular essa integral.

Passo 3

Podemos reescrever como:

∫ sec 2 ⁡ θ - 1 tan ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ - tan ⁡ θ d θ

= ∫ sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ - ∫ tan ⁡ θ d θ

Para a primeira integral vamos usar substituição simples. Vamos chamar:

u = tan ⁡ θ

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

E substituindo:

∫ u d u = u 2 2 + K 1

Voltando pra θ :

∫ sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = tan 2 ⁡ θ 2 + C 1

Passo 4

E para a segunda integral vamos lembrar que:

tan ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

E ficamos com:

∫ sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Usando substituição simples, também. Vamos chamar:

u = cos ⁡ θ

d u = - sen ⁡ θ d θ → sen ⁡ θ d θ = - d u

Voltando pra integral:

∫ - 1 u d u = - ln ⁡ u + K 2

Voltando pra θ :

∫ tan ⁡ θ = - ln ⁡ cos ⁡ θ + C 2

E juntando os dois resultados, ficamos com:

∫ tan 3 ⁡ θ d θ = tan 2 ⁡ θ 2 + ln ⁡ cos ⁡ θ + C

Passo 5

Agora é basicamente um repeteco do que fizemos antes.

Para letra (b) temos:

∫ tan 5 ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 tan 3 ⁡ θ d θ

= ∫ tan 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ - ∫ tan 3 ⁡ θ

Chamando:

u = tan ⁡ θ

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Ficamos com:

∫ u 3 d u = u 4 4 + K

Voltando pra θ :

∫ tan 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = tan 4 ⁡ θ 4 + C

Como só queremos em termos de ∫ tan 3 ⁡ θ d θ , então a resposta é apenas:

∫ tan 5 ⁡ θ d θ = tan 4 ⁡ θ 4 - ∫ tan 3 ⁡ θ

Passo 6

Para a letra (c) fazemos isso tudo de novoo. Temos

∫ tan 7 ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 tan 5 ⁡ θ d θ

= ∫ tan 5 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ - ∫ tan 5 ⁡ θ

Chamando:

u = tan ⁡ θ

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Ficamos com:

∫ u 5 d u = u 6 6 + K

Voltando pra θ :

∫ tan 5 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = tan 6 ⁡ θ 6 + C

Como só queremos em termos de ∫ tan 5 ⁡ θ d θ , então a resposta é apenas:

∫ tan 7 ⁡ θ d θ = tan 6 ⁡ θ 6 - ∫ tan 5 ⁡ θ

Passo 7

Para a letra (d):

∫ tan 2 k + 1 ⁡ θ d θ = ∫ tan 2 ⁡ θ tan 2 k - 1 ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 tan 2 k - 1 ⁡ θ d θ

= ∫ tan 2 k - 1 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ - ∫ tan 2 k - 1 ⁡ θ

Chamando:

u = tan ⁡ θ

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Ficamos com:

∫ u 2 k - 1 d u = u 2 k 2 k + K

Voltando pra θ :

∫ tan 2 k - 1 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = tan 2 k ⁡ θ 2 k + C

Como só queremos em termos de ∫ tan 2 k - 1 ⁡ θ d θ , então a resposta é apenas:

∫ tan 2 k + 1 ⁡ θ d θ = tan 2 k ⁡ θ 2 k - ∫ tan 2 k - 1 ⁡ θ

Ufaaa... que trabalheira, heim... Mas essa questão foi. Bora pra próxima?

Resposta

a)

∫ tan 3 ⁡ θ d θ = tan 2 ⁡ θ 2 + ln ⁡ cos ⁡ θ + C

b) ∫ tan 5 ⁡ θ d θ = tan 4 ⁡ θ 4 - ∫ tan 3 ⁡ θ

c)

∫ tan 7 ⁡ θ d θ = tan 6 ⁡ θ 6 - ∫ tan 5 ⁡ θ

d)

∫ tan 2 k + 1 ⁡ θ d θ = tan 2 k ⁡ θ 2 k - ∫ tan 2 k - 1 ⁡ θ