86. (a) Expresse ∫ cot 3 ⁡ θ d θ   em termos de ∫ cot ⁡ θ d θ . Depois calcule ∫ cot 3 ⁡ θ d θ . (dica: cot 2 ⁡ θ = csc 2 ⁡ θ - 1 .)

(b) expresse ∫ cot 5 ⁡ θ d θ   em termos de ∫ cot 3 ⁡ θ d θ .

(c) expresse ∫ cot 7 ⁡ θ d θ em termos de ∫ cot 5 ⁡ θ d θ .

(d) expresse ∫ cot 2 k + 1 ⁡ θ d θ , onde k e um inteiro positivo, em termos de ∫ cot 2 k - 1 ⁡ θ d θ .

Passo 1

Falaaa... tudo benzinho??

Nessa questão vamos usar a dicona que ele deu:

cot 2 ⁡ θ = csc 2 ⁡ θ - 1

Pra modicar a integral e depois conseguir resolvê-la.

E vamos precisar lembrar da derivada de tangente:

cot ⁡ θ ' = - csc 2 ⁡ θ

Também da derivada de cosseno:

sen ⁡ θ ' = cos ⁡ θ

Vamos lá...

Passo 2

a) Repara que podemos reescrever:

cot 3 ⁡ θ = cot 2 ⁡ θ cot ⁡ θ

Usando a igualdade trigonométrica:

cot 3 ⁡ θ = csc 2 ⁡ θ - 1 cot ⁡ θ

E substituindo na integral:

∫ cot 3 ⁡ θ d θ = ∫ csc 2 ⁡ θ - 1 cot ⁡ θ d θ

A primeira parte já foi... Agora falta calcular essa integral.

Passo 3

Podemos reescrever como:

∫ csc 2 ⁡ θ - 1 cot ⁡ θ d θ = ∫ csc 2 ⁡ θ cot ⁡ θ - cot ⁡ θ d θ

= ∫ csc 2 ⁡ θ cot ⁡ θ d θ - ∫ cot ⁡ θ d θ

Para a primeira integral vamos usar substituição simples. Vamos chamar:

u = cot ⁡ θ

d u = - csc 2 ⁡ θ d θ

E substituindo:

- ∫ u d u = - u 2 2 + K 1

Voltando pra θ :

∫ csc 2 ⁡ θ cot ⁡ θ d θ = - cot 2 ⁡ θ 2 + C 1

Passo 4

E para a segunda integral vamos lembrar que:

cot ⁡ θ = cos ⁡ θ sen ⁡ θ

E ficamos com:

∫ cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Usando substituição simples, também. Vamos chamar:

u = sen ⁡ θ

d u = co s ⁡ θ d θ

Voltando pra integral:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + K 2

Voltando pra θ :

∫ tan ⁡ θ = ln ⁡ s en ⁡ θ + C 2

E juntando os dois resultados, ficamos com:

∫ co t 3 ⁡ θ d θ = - co t 2 ⁡ θ 2 - ln ⁡ s en ⁡ θ + C

Passo 5

Agora é basicamente um repeteco do que fizemos antes.

Para letra (b) temos:

∫ co t 5 ⁡ θ d θ = ∫ c sc 2 ⁡ θ - 1 co t 3 ⁡ θ d θ

= ∫ co t 3 ⁡ θ c sc 2 ⁡ θ d θ - ∫ co t 3 ⁡ θ

Chamando:

u = co t ⁡ θ

d u = - c sc 2 ⁡ θ d θ

Ficamos com:

- ∫ u 3 d u = - u 4 4 + K

Voltando pra θ :

∫ co t 3 ⁡ θ c sc 2 ⁡ θ d θ = - co t 4 ⁡ θ 4 + C

Como só queremos em termos de ∫ co t 3 ⁡ θ d θ , então a resposta é apenas:

∫ co t 5 ⁡ θ d θ = - co t 4 ⁡ θ 4 - ∫ cot 3 ⁡ θ

Passo 6

Para a letra (c) fazemos isso tudo de novoo. Temos

∫ co t 7 ⁡ θ d θ = ∫ c sc 2 ⁡ θ - 1 co t 5 ⁡ θ d θ

= ∫ co t 5 ⁡ θ c sc 2 ⁡ θ d θ - ∫ co t 5 ⁡ θ

Chamando:

u = co t ⁡ θ

d u = - c sc 2 ⁡ θ d θ

Ficamos com:

- ∫ u 5 d u = - u 6 6 + K

Voltando pra θ :

- ∫ co t 5 ⁡ θ cs c 2 ⁡ θ d θ = - co t 6 ⁡ θ 6 + C

Como só queremos em termos de ∫ co t 5 ⁡ θ d θ , então a resposta é apenas:

∫ co t 7 ⁡ θ d θ = - co t 6 ⁡ θ 6 - ∫ co t 5 ⁡ θ

Passo 7

Para a letra (d):

∫ co t 2 k + 1 ⁡ θ d θ = ∫ co t 2 ⁡ θ co t 2 k - 1 ⁡ θ d θ = ∫ c sc 2 ⁡ θ - 1 co t 2 k - 1 ⁡ θ d θ

= ∫ co t 2 k - 1 ⁡ θ c sc 2 ⁡ θ d θ - ∫ co t 2 k - 1 ⁡ θ

Chamando:

u = co t ⁡ θ

d u = - c sc 2 ⁡ θ d θ

Ficamos com:

- ∫ u 2 k - 1 d u = - u 2 k 2 k + K

Voltando pra θ :

∫ co t 2 k - 1 ⁡ θ c sc 2 ⁡ θ d θ = - co t 2 k ⁡ θ 2 k + C

Como só queremos em termos de ∫ co t 2 k - 1 ⁡ θ d θ , então a resposta é apenas:

∫ co t 2 k + 1 ⁡ θ d θ = - co t 2 k ⁡ θ 2 k - ∫ co t 2 k - 1 ⁡ θ

Ufaaa... que trabalheira, heim... Mas essa questão foi. Bora pra próxima?

Resposta

a)

∫ cot 3 ⁡ θ d θ = - cot 2 ⁡ θ 2 - ln ⁡ sen ⁡ θ + C

b) ∫ cot 5 ⁡ θ d θ = - cot 4 ⁡ θ 4 - ∫ cot 3 ⁡ θ

c)

∫ cot 7 ⁡ θ d θ = - cot 6 ⁡ θ 6 - ∫ cot 5 ⁡ θ

d)

∫ cot 2 k + 1 ⁡ θ d θ = - cot 2 k ⁡ θ 2 k - ∫ cot 2 k - 1 ⁡ θ