88. Área. Ache a área da região “triangular” limitada superior e inferiormente pelas curvas y = csc(x) e y = sen(x) , π / 6 ≤ x ≤ π / 2 , e à esquerda pela reta x = pi / 6.

Passo 1

Falaaa.. beleza??

Nessa questão vamos lembrar que a área de uma região entre duas curvas é dada pela integral:

A = ∫ f x - g x d x

E lembrar que a integral de cossecante:

∫ csc ⁡ x = - ln ⁡ cot ⁡ x + csc ⁡ x + C

E os limites de integração serão os que ele já deu no enunciado.

Passo 2

Calculando, então:

A = ∫ π 6 π 2 csc ⁡ x - sen ⁡ x d x

A = - ln ⁡ cot ⁡ x + csc ⁡ x + cos ⁡ x π 6 π 2  

A = - ln ⁡ 1 + 0 + 0 + ln ⁡ 2 + 3 - 3 2

A = ln ⁡ 2 + 3 - 3 2

Resposta

A = ln ⁡ 2 + 3 - 3 2