89. Volume. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 87 em torno do eixo x .

Passo 1

Eaii.. belezinha???

Nessa questão vamos lembrar que o volume do sólido gerado pela rotação é dado por:

V = π ∫ f x 2 d x

E só pra deixar separadinho, a região do exercício 87 é delimitada por:

y = 2 cos ⁡ x

E por:

y = sec ⁡ x

No intervalo:

- π 4 ≤ x ≤ π 4

Também vamos lembrar de arco duplo:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

E que a integral de secante ao quadrado:

∫ sec 2 ⁡ x = tan ⁡ x + C

Passo 2

Calculando, então:

V = π ∫ - π 4 π 4 2 cos ⁡ x 2 d x - π ∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 d x

V = 4 π ∫ - π 4 π 4 cos 2 ⁡ x d x - π ∫ - π 4 π 4 sec 2 ⁡ x d x

Usando o arco duplo:

V = 4 π ∫ - π 4 π 4 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x - π ∫ - π 4 π 4 sec 2 ⁡ x d x

V = 4 π x 2 + sen ⁡ 2 x 4 - π 4 π 4 - π tan ⁡ x - π 4 π 4

V = 4 π π 8 + 1 4 - - π 8 - - 1 4 - π 1 - - 1

V = π 2

Resposta

V = π 2