90. Volume. Determine o sólido gerado pela rotação da região do Exercício 88 em torno do eixo x .

Passo 1

Eaii.. belezinha???

Nessa questão vamos lembrar que o volume do sólido gerado pela rotação é dado por:

V = π ∫ f x 2 d x

E só pra deixar separadinho, a região do exercício 88 é delimitada por:

y = cs c ⁡ x

E por:

y = se n ⁡ x

No intervalo:

π 6 ≤ x ≤ π 2

Também vamos lembrar de arco duplo:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

E que a integral de cossecante ao quadrado:

∫ cs c 2 ⁡ x = - cot ⁡ x + C

Passo 2

Calculando, então:

V = π ∫ π 6 π 2 csc ⁡ x 2 d x - π ∫ π 6 π 2 sen ⁡ x 2 d x

V = π ∫ π 6 π 2 csc 2 ⁡ x d x - π ∫ π 6 π 2 sen 2 ⁡ x d x

Usando o arco duplo:

V = π ∫ π 6 π 2 csc 2 ⁡ x d x - π ∫ π 6 π 2 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x

V = π - cot ⁡ x π 6 π 2 - π x 2 - sen ⁡ 2 x 4 π 6 π 2

V = π 0 - - 3 - π π 4 - 0 - π 12 + 3 8

V = π 7 3 8 - π 6

Resposta

V = π 7 3 8 - π 6