Achar f'(0) , f'(1) , f'(2) , se f(x) = x * (x - 1)^2 * (x - 2)^3 .

Passo 1

Vamos lá. Para começar, vamos encontrar a derivada dessa função.

Lembrando que:

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x)

Substituindo e desenvolvendo, teremos:

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ([( x + Delta x ) (( x + Delta x ) - 1)^2 (( x + Delta x ) - 2)^3] - [x (x - 1)^2 (x - 2)^3])/(Delta x)

Passo 2

Vamos substituir x = 0 e desenvolver:

f^' (0) = underset(Delta x -> 0)(lim) ([(0 + Delta x) ((0 + Delta x) - 1)^2 ((0 + Delta x) - 2)^3] - [0 (0 - 1)^2 (0 - 2)^3])/(Delta x)

f^' (0) = underset(Delta x -> 0)(lim) ([(Delta x) ((Delta x) - 1)^2 ((Delta x) - 2)^3] - 0)/(Delta x)

f^' (0) = underset(Delta x -> 0)(lim) (Delta x (Delta x^2 - 2 Delta x + 1) [(Delta x^2 - 4 Delta x + 4) ((Delta x) - 2)])/(Delta x)

f^' (0) = underset(Delta x -> 0)(lim) (Delta x^2 - 2 Delta x + 1) [(Delta x^2 - 4 Delta x + 4) ((Delta x) - 2)]

Agora, substituindo Delta x = 0 :

f^' (0) = (0^2 - 2 ( 0 ) + 1) [(0^2 - 4 ( 0 ) + 4) ((0) - 2)]

f^' (0) = 1 [(4) (- 2)]

f^' (0) = - 8

Passo 3

Para x = 1 :

f^' (1) = underset(Delta x -> 0)(lim) ([(1 + Delta x) ((1 + Delta x) - 1)^2 ((1 + Delta x) - 2)^3] - [1 (1 - 1)^2 (1 - 2)^3])/(Delta x)

f^' (1) = underset(Delta x -> 0)(lim) ([(1 + Delta x) (Delta x)^2 ((1 + Delta x) - 2)^3] - [1 (0)^2 (- 1)^3])/(Delta x)

f^' (1) = underset(Delta x -> 0)(lim) ([(1 + Delta x) (Delta x)^2 (Delta x - 1)^3])/(Delta x)

f^' (1) = underset(Delta x -> 0)(lim) [(1 + Delta x) (Delta x) (Delta x - 1)^3]

Substituindo Delta x = 0 :

f^' (1) = (1 + 0) (0) (0 - 1)^3

f^' (1) = 0

Passo 4

Para x = 2 :

f^' (2) = underset(Delta x -> 0)(lim) ([(2 + Delta x) ((2 + Delta x) - 1)^2 ((2 + Delta x) - 2)^3] - [2 (2 - 1)^2 (2 - 2)^3])/(Delta x)

f^' (2) = underset(Delta x -> 0)(lim) ([(2 + Delta x) (Delta x + 1)^2 (Delta x)^3] - [2 (1)^2 (0)^3])/(Delta x)

f^' (2) = underset(Delta x -> 0)(lim) (2 + Delta x) (Delta x + 1)^2 (Delta x)^2

Aplicando Delta x = 0 :

f^' (2) = (2 + 0) (0 + 1)^2 (0)^2

f^' (2) = 0

Resposta

Portanto:

f^' (0) = - 8

f^' (1) = 0

f^' (2) = 0

Alguma dúvida aí? Espero que tenha compreendido bem o raciocínio!