Achar o coeficiente angular da tangente à curva y = sen(x) no ponto ( pi ; 0 ) .

Passo 1

Como já sabemos, o coeficiente angular da reta tangente à curva é a derivada da função da curva. Logo:

α = f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f ( x ) Δ x

Então teremos:

f ' x = l i m Δ x → 0 sen ⁡ ( x + Δ x ) - sen ⁡ x Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 sen ⁡ ( x + Δ x ) - sen ⁡ x Δ x

Lembrando das identidades trigonométricas, que:

sen ⁡ ( a + b ) = sen ⁡ a cos ⁡ b + cos ⁡ a sen ⁡ b

Então:

f ' x = l i m Δ x → 0 sen ⁡ x cos ⁡ Δ x + cos ⁡ x sen ⁡ Δ x - sen ⁡ x Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 sen ⁡ x cos ⁡ Δ x - 1 + cos ⁡ x sen ⁡ Δ x Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 sen ⁡ x cos ⁡ Δ x - 1 Δ x + l i m Δ x → 0 cos ⁡ x sen ⁡ Δ x Δ x

De acordo com o limite trigonométrico fundamental, sabemos que:

lim α → 0 ⁡ sen ⁡ α α = 1

Logo, ficaremos com:

f ' x = l i m Δ x → 0 sen ⁡ x cos ⁡ Δ x - 1 Δ x + l i m Δ x → 0 cos ⁡ x

Manipulando os termos do primeiro limite com:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1     ↔     cos 2 ⁡ x - 1 = - sen 2 ⁡ x

a + b a - b = ( a 2 - b 2 )

Podemos reorganizar a equação com:

f ' x = l i m Δ x → 0 sen ⁡ x cos ⁡ Δ x - 1 ( cos ⁡ Δ x + 1 ) Δ x ( cos ⁡ Δ x + 1 ) + cos ⁡ x

f ' x = cos ⁡ x + l i m Δ x → 0 sen ⁡ x cos 2 ⁡ Δ x - 1 2 Δ x cos ⁡ Δ x + 1

f ' x = cos ⁡ x + l i m Δ x → 0 sen ⁡ x cos 2 ⁡ Δ x - 1 2 Δ x ( cos ⁡ Δ x + 1 )

Lembrando novamente que:

sen 2 ⁡ a + cos 2 ⁡ a = 1     ↔     cos 2 ⁡ x - 1 = - sen 2 ⁡ x

Então:

f ' x = cos ⁡ x + l i m Δ x → 0 sen ⁡ x - sen 2 ⁡ Δ x Δ x cos ⁡ Δ x + 1

f ' x = cos ⁡ x + l i m Δ x → 0 sen ⁡ x ( - sen ⁡ Δ x ) cos ⁡ Δ x + 1

Passo 2

Agora, substituindo Δ x = 0 :

f ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ x ( - sen ⁡ 0 ) cos ⁡ 0 + 1

f ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ x - 0 1 + 1

f ' x = cos ⁡ x

Passo 3

Portanto, o coeficiente angular da tangente à curva será:

f ' π = cos ⁡ π = - 1

Resposta

Prontinho! O coeficiente angular da tangente à curva y = sen ⁡ x no ponto x = π é - 1 .

O que achou do desenvolvimento? Ficou claro?